嘿，这个问题其实是在抠Apostol证明加法消去律时的一个前置假设细节，我来给你拆解清楚：

首先先把你提到的原文片段引出来：

Apostol writes, Given a+b=a+c. Now there exists a real number y, such that, a+y=0.
Then he says, "Since sums are uniquely determined, we have y+(a+b) = y+(a+c)."
Before mentioning the field axioms, he does say "It is assumed that the sum x+y and the product xy are uniquely determined by x and y"

这句话的核心意思其实是在说加法运算的函数唯一性：加法本质上是一个定义在实数对上的函数——给任意一对确定的实数(x,y)，它们的和x+y是唯一的，不会出现“同一个x加同一个y，算出两个不同结果”的情况。

放到这个证明步骤里来理解：

• 我们已经有前提a+b = a+c，这意味着a+b和a+c其实是同一个实数，只是写法不同
• 现在我们把同一个数y分别和这个“同一个实数”做加法，也就是计算y+(a+b)和y+(a+c)
• 因为加法的结果是唯一确定的，当你把y和一个固定的数相加时，只能得到唯一的结果，所以这两个表达式必然相等

换个更接地气的例子：假设你有两个写着“5”的牌子，一个是2+3，一个是1+4，它们其实都是5。现在你给这两个牌子都加上2，结果肯定都是7——这就是“和是唯一确定的”在这个场景下的直观意思，不会出现2+(2+3)=7但2+(1+4)=8这种离谱的情况。

这个假设是后续完成消去律证明的必要铺垫：接下来你可以用加法结合律把y+(a+b)拆成(y+a)+b，把y+(a+c)拆成(y+a)+c，而y+a=0（因为y是a的加法逆元），所以就得到0+b=0+c，也就是b=c，完美推导出加法消去律。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Pratyush Ray