嗨，我来帮你把这个问题的逻辑彻底捋清楚～

一、为什么P(X_i=0)等于$\left(\frac{364}{365}\right)^{153}$？ #

首先我们先明确定义：这里的$X_i$是指示变量，它表示第$i$次讲座当天是否有人过生日——$X_i=0$代表当天153个学生里没有一个人生日在这天，$X_i=1$则代表至少有一个人生日在这天。

我们拆解这个概率的推导逻辑：

• 对于单个学生来说，生日均匀分布在365天，所以他的生日不在第$i$次讲座当天的概率是$\frac{364}{365}$（因为除了当天，剩下364天都可以选）。
• 题目里明确说了所有学生的生日都是独立事件，也就是说A学生的生日和B学生的生日互不影响。
• 那153个学生全部不在当天过生日的概率，就是每个学生不在当天过生日的概率相乘（独立事件的乘法原理），也就是$\left(\frac{364}{365}\right) \times \left(\frac{364}{365}\right) \times \dots \times \left(\frac{364}{365}\right)$（一共乘153次），也就是$\left(\frac{364}{365}\right)^{153}$。

核心就是抓住“独立事件”和“单个个体的概率”这两个关键点，是不是一下子就通了？

二、有没有办法直接计算P(X_i=1)？ #

答案是有，但完全没必要，因为计算量极大。

$P(X_i=1)$是“至少有一个学生在当天过生日”的概率，直接计算的话，需要把所有“有人生日在当天”的情况都加起来：

• 恰好1个学生生日在当天，剩下152个不在：概率是$\binom{153}{1} \times \left(\frac{1}{365}\right)^1 \times \left(\frac{364}{365}\right)^{152}$
• 恰好2个学生生日在当天，剩下151个不在：概率是$\binom{153}{2} \times \left(\frac{1}{365}\right)^2 \times \left(\frac{364}{365}\right)^{151}$
• ……
• 恰好153个学生生日都在当天：概率是$\binom{153}{153} \times \left(\frac{1}{365}\right)^{153} \times \left(\frac{364}{365}\right)^0$

把这些情况的概率全部加起来，就是$P(X_i=1)$的直接计算式：
$$P(X_i=1) = \sum_{k=1}^{153} \binom{153}{k} \times \left(\frac{1}{365}\right)^k \times \left(\frac{364}{365}\right)^{153-k}$$

但你看，这个求和要算153项，每一项都要算组合数、幂次，计算起来非常繁琐。而用补集法$P(X_i=1) = 1 - P(X_i=0)$，只需要一步就能算出结果，简单高效得多。所以实际解题中，没人会用直接求和的方法，补集法是最优选择。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者LearningToCode