问题描述 #

设$f(x)$是n次多项式，且已知$f(x)$没有正整数根（即不存在正整数x使得$f(x)=0$）。考虑方程：
$f(x+1)=2f(x)$
我想确定这个方程是否存在正整数解。能否有人提供关于是否存在满足该方程的正整数x的见解？另外，请解释你的推理过程。
提前感谢你的帮助和专业知识。

解答 #

这个问题的答案不能一概而论——是否存在正整数解完全取决于多项式$f(x)$的具体形式，下面我通过例子和推理来详细说明：

情况1：存在满足条件的正整数解

我们可以直接构造一个符合要求的多项式来证明这种情况存在：
取$f(x) = x^2 + 1$，这是一个二次多项式，显然它没有正整数根（对任意正整数$x$，$x^2 + 1 \geq 2 > 0$，不可能等于0）。

现在验证方程$f(x+1)=2f(x)$：

• 左边：$f(x+1) = (x+1)^2 + 1 = x^2 + 2x + 2$
• 右边：$2f(x) = 2(x^2 + 1) = 2x^2 + 2$

令两边相等并化简：
$$x^2 + 2x + 2 = 2x^2 + 2$$
$$x^2 - 2x = 0$$
$$x(x-2) = 0$$

解得$x=0$或$x=2$，其中$x=2$是正整数，完全满足题目的所有条件。

背后的逻辑是：方程$f(x+1)=2f(x)$等价于求解多项式$g(x)=f(x+1)-2f(x)$的根。$g(x)$是一个n次多项式（和$f(x)$同次），题目只限制了$f(x)$没有正整数根，但并没有限制$g(x)$不能有正整数根，只要这个根代入$f(x)$后不为0（而我们构造的例子里$f(2)=5≠0$，符合要求）。

情况2：不存在满足条件的正整数解

同样，我们可以构造反例：
取$f(x)=(x+1)^{n$（$n≥1$），这是一个n次多项式，对任意正整数$x$，$(x+1)}n ≥ 2^n > 0$，没有正整数根。

现在看方程$f(x+1)=2f(x)$：
$$(x+2)^n = 2(x+1)^n$$
$$\left(\frac{x+2}{x+1}\right)^n = 2$$
$$\left(1+\frac{1}{x+1}\right)^n = 2$$

对任意正整数$x$，$1+\frac{1}{x+1}$的取值范围是$(1, 2]$，当$x=1$时，左边是$(1.5)^{n$，n=1时是1.5≠2，n=2时是2.25≠2；x=2时左边是$(4/3)}n$，显然小于2；x越大，左边越趋近于1，永远不可能等于2。因此这个方程没有正整数解。

总结 #

• 当多项式$f(x)$对应的$g(x)=f(x+1)-2f(x)$存在正整数根，且该根不是$f(x)$的根时，方程有正整数解；
• 当$g(x)$没有正整数根时，方程无正整数解。

所以是否存在正整数解，完全由$f(x)$的具体形式决定。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Krishna Mishra