我完全懂你卡在这儿的感觉——Apostol的证明经常会跳关键步骤，第一次接触这种归纳法结合不等式的思路时，确实容易摸不着头脑。咱们一步步拆解，把从原不等式到那个关键中间步骤的逻辑理清楚：

首先，你已经走对了第一步：用数学归纳法证明原不等式$\sum_{k=1}^{n-1}kp < \frac{n^{p+1}}{p+1}$，先验证了基例n=1成立（左边是空和为0，右边$\frac{1}{p+1}$显然大于0）。接下来是归纳步骤的核心：

假设当n时命题成立（归纳假设）：
$$\sum_{k=1}^{n-1}kp < \frac{n^{p+1}}{p+1}$$
现在要证明n+1时的命题：
$$\sum_{k=1}^{n}kp < \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1}$$

把左边的求和式拆开来，就能关联上归纳假设：
$$\sum_{k=1}^{n}kp = \sum_{k=1}^{n-1}kp + n^p$$
根据归纳假设，这个和肯定小于$\frac{n^{p+1}}{p+1} + n^{p$。所以现在问题就转化为：**只要能证明$\frac{n}{p+1}}{p+1} + n^p \leq \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1}$，就能通过不等式的传递性得到n+1时的结论**——这就是为什么那个式子(2)是整个证明的关键跳板！

接下来咱们就把这个跳板式子往伯努利不等式推：

1. 先给式子(2)两边同时乘以$p+1$（因为$p+1>0$，不等号方向不变）：
   $$n^{p+1} + (p+1)n^p \leq (n+1)^{p+1}$$
2. 左边提取公因式$n^p$，得到：
   $$n^p(n + p + 1) \leq (n+1)^{p+1}$$
3. 两边同时除以$n^{p+1}$（n是正整数，正数除法不改变不等号）：
   $$\frac{n + p + 1}{n} \leq \left( \frac{n+1}{n} \right)^{p+1}$$
4. 把左边化简成$1 + \frac{p+1}{n}$，右边写成$(1 + \frac{1}{n})^{p+1}$，就得到了：
   $$(1 + \frac{1}{n})^{p+1} \geq 1 + (p+1)\cdot\frac{1}{n}$$

这不就是伯努利不等式$(1+x)^k \geq 1 + kx$的形式吗？这里$x=\frac{1}{n}$，$k=p+1$，完全符合伯努利不等式的适用条件（x>0，k>1）。

至于你提到的Faulhaber公式，完全不用在意——Apostol这里的设计就是让你用归纳法+伯努利不等式完成证明，根本不需要提前接触伯努利数，这也是教材循序渐进的思路。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者shafe