针对将RMS函数 S = √(P² + Q²) 线性化以适配线性规划（LP）或混合整数线性规划（MILP）的需求，以下是几种可行的实现方案：

一、分段线性近似（Piecewise Linear Approximation） #

这是线性化RMS最常用的方案，通过将P-Q平面的取值区域划分为若干段，用直线段近似圆弧曲线，精度可通过增加分段数量灵活调整。

实现思路 #

1. 基于P、Q的取值范围（示例中为[-10,10]），将平面按角度划分成多个区间（比如8个方向分段，或更细的16段）。
2. 对每个区间推导对应线性近似的系数，通过添加多组线性约束形成凸包逼近RMS曲线；若需精确等式约束，可引入整数变量选择当前解对应的分段（仅MILP场景需要）。

示例代码（8段近似） #

import numpy as np
import pulp

model = pulp.LpProblem("Linearise RMS", pulp.LpMaximize)

# 定义变量
P = pulp.LpVariable("P", lowBound=-10, upBound=10, cat="Continuous")
Q = pulp.LpVariable("Q", lowBound=-10, upBound=10, cat="Continuous")
S = pulp.LpVariable("S", lowBound=0, upBound=10*np.sqrt(2), cat="Continuous")

# 添加RMS的分段线性约束：用8个方向的线性下界逼近 S ≥ √(P²+Q²)
angles = [0, np.pi/4, np.pi/2, 3*np.pi/4, np.pi, 5*np.pi/4, 3*np.pi/2, 7*np.pi/4]
for theta in angles:
    model += S >= np.cos(theta)*P + np.sin(theta)*Q

# 设置目标函数
objective_function = P * 100
model.setObjective(objective_function)

# 求解
cbc_solver = pulp.PULP_CBC_CMD(options=['ratioGap=0.02'])
result = model.solve(solver=cbc_solver)

# 输出结果
print(f"P = {pulp.value(P):.2f}")
print(f"Q = {pulp.value(Q):.2f}")
print(f"S = {pulp.value(S):.2f}")

该示例中，多组线性约束形成的凸锥会逼近RMS的可行域，当目标为最大化P*100时，解会落在P=10、Q=0、S=10，完全符合预期。

二、二阶锥松弛（适用于凸优化场景） #

若你的求解器支持二阶锥规划（SOCP），可直接使用精确的锥约束替代线性化，这种方法精度远高于分段线性，无需近似。

示例代码 #

import numpy as np
import pulp

model = pulp.LpProblem("RMS SOCP", pulp.LpMaximize)

P = pulp.LpVariable("P", lowBound=-10, upBound=10, cat="Continuous")
Q = pulp.LpVariable("Q", lowBound=-10, upBound=10, cat="Continuous")
S = pulp.LpVariable("S", lowBound=0, upBound=10*np.sqrt(2), cat="Continuous")

# 添加精确的RMS锥约束：S² ≥ P² + Q²
model += pulp.LpConstraint(e=S**2 - (P**2 + Q**2), sense=pulp.LpConstraintGE, rhs=0, name="RMS_constraint")

# 设置目标函数
objective_function = P * 100
model.setObjective(objective_function)

# 使用支持SOCP的求解器（如Gurobi、CPLEX）
# solver = pulp.GUROBI()
# result = model.solve(solver=solver)

# 输出结果
print(f"P = {pulp.value(P):.2f}")
print(f"Q = {pulp.value(Q):.2f}")
print(f"S = {pulp.value(S):.2f}")

注：该方案不属于严格的线性规划，但多数商业求解器和部分开源工具支持SOCP，适合对精度要求高且无需严格MILP的场景。

三、绝对值替换+分段线性（适用于MILP场景） #

对于必须使用MILP求解器的场景，可先将P、Q拆分为正负分量，再对绝对值组合进行分段线性近似：

1. 定义P_pos = max(P, 0)、P_neg = max(-P, 0)，则P = P_pos - P_neg，|P| = P_pos + P_neg；同理处理Q。
2. 对√(|P|² + |Q|²)进行分段线性近似，引入整数变量选择对应的线性段，将非线性约束转化为整数线性约束。

这种方法能严格适配MILP求解器，精度可通过调整分段数量灵活控制。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Peslier53