大家好，我最近尝试用一种非常规的方式来表示$e^{x$——把它展开成正弦函数的幂级数，而不是标准的泰勒级数，现在想请教一下这种表示是否有效，同时也希望能找到其他方法来验证我推导出来的$e}{\pi/2}$和$e^{\pi/6}$的求和式是否正确。

我提出的假设是：
$$e^x = a_0 + a_1\sin(x) + a_2\sin^2(x) + a_3\sin^3(x) + \cdots$$

通过计算，我得到了如下系数序列：

• $a_0=1$
• $a_1=1$
• $a_2=\frac{1}{2}$
• $a_3=\frac{2}{6}$
• $a_4=\frac{5}{24}$
• $a_5=\frac{20}{120}$
• $a_6=\frac{85}{720}$
• $a_7=\frac{520}{5040}$
• $a_8=\frac{3145}{40320}\cdots$

基于这个展开式，我推导出了两个具体的求和等式：

1. 当$x=\frac{\pi}{2}$时，$\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$，代入后得到：
   $$e^{\frac{\pi}{2}} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{2}{6} + \frac{5}{24} + \frac{20}{120} + \frac{85}{720} + \frac{520}{5040} + \frac{3145}{40320} + \cdots$$
2. 当$x=\frac{\pi}{6}$时，$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$，代入后得到：
   $$e^{\frac{\pi}{6}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2\times2^2} + \frac{2}{6\times2^3} + \frac{5}{24\times2^4} + \frac{20}{120\times2^5} + \frac{85}{720\times2^6} + \frac{518}{5040\times2^7} + \frac{3145}{40320\times2^8} + \cdots$$

我计算了前几项的和，发现结果和等式左边的真实值非常接近，但我还是对这种*“误用”泰勒级数*的表示方式抱有怀疑，不确定它在数学上是否严格有效。

如果有朋友能解答这个有效性的问题，或者提供其他证明方法来佐证这两个$e^{{\pi/2}$和$e}{\pi/6}$的求和式，我将非常感激！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者LithiumPoisoning