问题描述 #

在$\triangle ADC$中，$DB$垂直于$AC$于$B$，已知$AB=2$，$BC=3$，且$\angle ADC=45^\circ$，求$\triangle ADC$的面积。

提问者尝试过的思路 #

• 绘制直角三角形的中线和高
• 应用阿波罗尼斯定理
• 应用斯图尔特定理
• 正弦定理
• 余弦定理
• 注意到$2+3=5$，尝试延长$BD$构造3-4-5三角形推进求解

我已经花了大概1.5小时在这个问题上，但每次尝试到某个阶段就卡住了，希望能得到清晰的解题思路。

解题思路与步骤 #

别着急，这个问题用三角函数结合方程思想就能轻松解决，咱们一步步来拆解：

设$BD = h$（这就是$\triangle ADC$的高，最终面积就是$\frac{1}{2} \times (2+3) \times h = \frac{5h}{2}$，所以核心目标就是求出$h$的值）。

在$Rt\triangle ABD$中，$\tan\angle ADB = \frac{AB}{BD} = \frac{2}{h}$；
在$Rt\triangle CBD$中，$\tan\angle CDB = \frac{BC}{BD} = \frac{3}{h}$。

注意到$\angle ADB + \angle CDB = \angle ADC = 45^\circ$，咱们用正切的和角公式：
$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$$
这里$\alpha = \angle ADB$，$\beta = \angle CDB$，代入已知条件$\tan45^\circ=1$，得到：
$$1 = \frac{\frac{2}{h} + \frac{3}{h}}{1 - \frac{2}{h} \times \frac{3}{h}}$$

接下来化简这个等式：
$$1 = \frac{\frac{5}{h}}{1 - \frac{6}{h^2}}$$
两边同乘分母消去分式：
$$1 - \frac{6}{h^2} = \frac{5}{h}$$
两边同时乘以$h^2$（$h>0$，不会产生增根）：
$$h^2 - 6 = 5h$$
整理成标准一元二次方程：
$$h^2 -5h -6=0$$
因式分解后得到：
$$(h-6)(h+1)=0$$
解得$h=6$（$h=-1$舍去，长度不能为负）。

最后计算$\triangle ADC$的面积：$\frac{1}{2} \times 5 \times 6 = 15$。

另外你尝试的构造3-4-5三角形思路其实也能走通，比如延长$BD$到$E$，使$DE=AD$，利用$\angle ADC=45^\circ$可证$\triangle ADB \cong \triangle EDC$，进而推出$\angle ECB=90^\circ$，不过这个路径绕了点远，还是正切和角的方法更直接高效。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者DIVYANSH SHANKAR