如何计算特定alpha值的叠加元素近似不透明所需数量？

• 不透明度（Opacity）不具备叠加性。
• 透射率（Transmissivity）= 1 - 不透明度。
• 透射率遵循相乘法则。

是否存在公式可确定，使用特定alpha=值的叠加观测元素，需要多少次叠加才能近似达到不透明状态？

本问题关联R语言与ggplot2，但不局限于特定语言或绘图机制，不确定ggplot2的alpha实现是否为行业通用标准。

测试代码（未优化） #

library(ggplot2)
alphas <- c(seq(0.001, 0.01, by=0.001), seq(0.01, 0.1, by=0.01)[-1])
ns <- seq(0, 100, 10)
expand.grid(alpha1 = alphas, n1 = ns) |>
  reframe(
    .by = everything(),
    x = factor(as.character(rep(alpha1, n1)), levels = as.character(alphas)),
    y = factor(as.character(rep(n1, n1)), levels = as.character(ns))
  ) |>
  ggplot(aes(as.numeric(x), as.numeric(y))) +
  geom_point(aes(alpha=alpha1), size=3, color='red') +
  geom_point(aes(x=as.numeric(x)+0.1,y=as.numeric(y)+0.1), size=3, alpha=1, color='red')+
  scale_x_continuous(
    name = "alpha",
    breaks=as.numeric(factor(as.character(alphas), levels = as.character(alphas))),
    labels=alphas
  ) +
  scale_y_continuous(
    name = "Number of points",
    breaks=as.numeric(factor(as.character(ns), levels = as.character(ns))),
    labels=ns
  ) +
  scale_alpha_identity(guide = "none")

作为非色彩专业人士，原本以为10%的alpha值需要10次叠加才能接近不透明，但实际测试中，alpha=0.01时仅10次叠加在显示器上看起来就接近不透明，远低于预期的100次。

由于这涉及色彩视觉敏感性，存在主观性，但对于熟悉色彩控制的专业人士，是否存在数学公式或经验性的预期来确定叠加次数？

编辑说明：将scale_alpha_continuous()修改为scale_alpha_identity()，并相应调整了ns参数。

数学推导与经验结论 #

根据透射率相乘的核心规则，假设每次叠加元素的不透明度为α（即alpha值），单次透射率为T = 1 - α，经过n次叠加后总透射率为T^n = (1 - α)^n。

数学公式推导 #

我们需要总透射率降低到人眼无法区分的近似不透明状态，通常以**总透射率≤1%**为标准（此时仅1%背景光线穿透），推导过程如下：

1. 设(1 - α)^n ≤ 0.01
2. 两边取自然对数（因ln(x)在x<1时为负，不等式方向反转）：
   n ≥ ln(0.01) / ln(1 - α)
3. 简化得：n ≥ -4.605 / ln(1 - α)

当α较小时（如α≤0.1），可近似ln(1 - α) ≈ -α，公式简化为：
n ≈ 4.605 / α

视觉感知的经验调整 #

实际观察中阈值会更低，因为人眼对亮度差异的感知并非线性，且显示器色彩输出会影响判断。经验上，当叠加后的**有效不透明度（1 - (1-α)^n）≥90%**时，多数场景下视觉上已接近不透明，推导得：
n ≥ ln(0.1)/ln(1-α) ≈ 2.303/α

需要注意的是，ggplot2的alpha实现遵循行业通用的预乘alpha规则，上述公式完全适用。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者r2evans