求x与y相等时的时间n：线性插值时间计算问题

1. 线性变化的函数表达式 #

首先，线性变化的量可以表示为初始值 + 变化率 × 时间，其中变化率 = (终值 - 初始值)/总时长。

已知：

• 总时长 ( T = 60 ) 秒
• ( x ) 的初始值 ( x_0 = 3 )，终值 ( x_T = 9 )，因此 ( x ) 的变化率：
  [
  \frac{dx}{dt} = \frac{x_T - x_0}{T} = \frac{9-3}{60} = 0.1 \text{ /秒}
  ]
• ( y ) 的初始值 ( y_0 = 4 )，终值 ( y_T = 6 )，因此 ( y ) 的变化率：
  [
  \frac{dy}{dt} = \frac{y_T - y_0}{T} = \frac{6-4}{60} = \frac{1}{30} \text{ /秒}
  ]

由此得到 ( x )、( y ) 关于时间 ( n ) 的函数：
[
x(n) = 3 + 0.1n
]
[
y(n) = 4 + \frac{n}{30}
]

2. 求解 ( x(n) = y(n) ) 的时间 ( n ) #

令两个函数相等，解方程：
[
3 + 0.1n = 4 + \frac{n}{30}
]

将 ( 0.1 ) 转换为分数 ( \frac{3}{30} )，方便计算：
[
3 + \frac{3n}{30} = 4 + \frac{n}{30}
]

移项整理：
[
\frac{3n}{30} - \frac{n}{30} = 4 - 3
]
[
\frac{2n}{30} = 1
]
[
n = 15 \text{ 秒}
]

3. 关于你使用的公式的补充 #

你之前用的公式 ( X3 = X1 + ((Y3 - Y1) \times ((X2 - X1)/(Y2 - Y1))) ) 是直接关联 ( X ) 和 ( Y ) 的线性关系，但没有引入时间变量。要引入时间，核心是把 ( X ) 和 ( Y ) 都表示为时间的函数，通过时间作为中间变量建立等式，才能求解对应时间。

4. 代码推导示例 #

用Python代码可以快速计算这个结果：

# 定义基础参数
total_time = 60
x_start, x_end = 3, 9
y_start, y_end = 4, 6

# 计算x和y的每秒变化量
x_rate = (x_end - x_start) / total_time
y_rate = (y_end - y_start) / total_time

# 解方程 x_start + x_rate * n = y_start + y_rate * n
# 整理后得到 n = (y_start - x_start) / (x_rate - y_rate)
n = (y_start - x_start) / (x_rate - y_rate)

print(f"当x=y时，对应的时间n为：{n}秒")

运行后输出结果为 15.0秒，和手动推导一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者moja