关于素数$p\equiv -1 \pmod{12}$时广义佩尔方程$x^2-3y^2=-p$的可解性问询

嘿，这个问题提得非常扎实，你已经做了大量验证工作，结论也完全正确——对于满足$p\equiv -1 \pmod{12}$的素数$p$，广义佩尔方程$x^2-3y2=-p$一定存在整数解。我来给你梳理下证明思路，结合代数数论的视角会很清晰：

核心证明逻辑 #

我们可以借助二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{3})$的性质来推导：

• 首先，$\mathbb{Q}(\sqrt{3})$的整数环是$\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right]$，这是一个主理想域（类数为1），意味着所有理想都是主理想，这是关键前提。
• 对于素数$p\equiv -1 \pmod{12}$，它等价于两个条件：$p\equiv 2 \pmod{3}$且$p\equiv 3 \pmod{4}$。我们用二次互反律判断$3$在模$p$下的二次剩余性：
  根据互反律$\left(\frac{3}{p}\right) = \left(\frac{p}{3}\right)(-1)^{{\frac{(p-1)(3-1)}{4}}$，代入$p\equiv2\pmod{3}$得$\left(\frac{p}{3}\right)=-1$；而$\frac{(p-1)(3-1)}{4}=\frac{p-1}{2}$，因为$p\equiv3\pmod{4}$，$\frac{p-1}{2}$是奇数，所以$(-1)}{\frac{p-1}{2}}=-1$。最终$\left(\frac{3}{p}\right)=(-1)\times(-1)=1$，说明$p$在$\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right]$中会分解为两个共轭素理想$\mathfrak{p}$和$\overline{\mathfrak{p}}$，且每个理想的范数$N(\mathfrak{p})=p$。
• 因为整数环是主理想域，$\mathfrak{p}$可以表示为某个元素$\alpha=x+y\sqrt{3}$（$x,y$为整数）生成的主理想，即$\mathfrak{p}=(\alpha)$。此时范数$N(\alpha)=x^2-3y2=\pm p$。
• 最后判断符号：如果$x^2-3y2=p$，那么$x^2\equiv p\pmod{4}$，但$p\equiv3\pmod{4}$，而平方数模4只能是0或1，矛盾。因此必然有$x^2-3y2=-p$，这就直接给出了方程的整数解。

关于解的大小 #

你观察到存在解满足$x^{2\leq2p$，这也可以从主理想域的欧几里得性质解释：在$\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right]$中，素理想的生成元可以取范数绝对值较小的元素，结合$x}2=3y^{2-p$，代入$x}2\leq2p$可得$3y^{2\leq3p$即$y}2\leq p$，这符合生成元的小范数特性，也和你的验证结果一致。

为什么反例不成立 #

你提到的几个反例也能对应到证明中的条件：

• 非素数$p$：比如$p=22$（非素数且$22\equiv-2\pmod{12}$），方程$x^2-3y2=-22$无整数解，因为非素数的理想分解更复杂，无法保证存在范数为$-p$的主理想。
• 仅满足$p\equiv-1\pmod{3}$（比如$p=5$，$5\equiv1\pmod{4}$）：此时$\left(\frac{3}{p}\right)=-1$，$p$在二次域中是惯性素理想，不存在范数为$\pm p$的主理想，因此方程无解。
• 仅满足$p\equiv-1\pmod{4}$（比如$p=7$，$7\equiv1\pmod{3}$）：同样$\left(\frac{3}{p}\right)=-1$，$p$惯性，方程无整数解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者PunnyBunny