关于PSL(2,ℂ)中⟨x,y⟩可约等价于tr[x,y]=2的证明问询

我最近在看一本书的第52页，里面有个命题我一直搞不懂怎么证明，想请教大家：

对于$x,y \in \mathrm{PSL}(2,\mathbb{C})$，子群$\langle x,y \rangle$可约 $\iff$ $\text{tr}[x,y] = 2$

先明确一下我手里的定义：

• $[x,y] = x^{-1}y{-1}xy$是x和y的换位子
• “可约”的定义是：子群$\langle x,y \rangle$中的所有元素，在$\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup {\infty }$上的作用都共享一个不动点；其中PSL(2,ℂ)元素的作用规则是：若$\gamma = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$（代表PSL里的对应元素），则$\gamma\cdot z = \frac{az+c}{cz+d}$

我现在卡在这个等价关系的双向证明上，完全没头绪。目前我能想到的一个切入点是：$\text{tr}([x,y])= 2$等价于换位子$[x,y]$是抛物元素（也就是只有一个不动点）。

为了简化问题，我试着先考虑那些固定0和∞的变换，这样能从几何角度更直观地分析x、y和它们的换位子，但不管怎么推导，都没法把“子群可约”和“换位子迹为2”这两个条件联系起来。

有没有大佬能给我指点一下证明的方向，或者提供一些关键的推导步骤？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Pastudent