伯努利随机变量乘积序列均值的方差收敛性问题

嘿，你的直觉其实是对的——在题目给定的条件下，确实可以推出$\mathbb{V}\left{\frac{1}{n}\sum_{j=1}^nA_{j,n},B_{j,n}\right}\rightarrow 0$。我来帮你梳理下正确的推导思路，同时解释下你之前的放缩为什么没走通~

先拆解方差的结构 #

我们把乘积项记为$C_{j,n}=A_{j,n}B_{j,n}$，先把目标方差展开：
$$
\mathbb{V}\left(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n C_{j,n}\right) = \frac{1}{n^{2}\left[\sum_{j=1}}n \mathbb{V}(C_{j,n}) + 2\sum_{1\leq i<j\leq n}\text{Cov}(C_{i,n},C_{j,n})\right]
$$
接下来我们分两部分证明，这两项除以$n^2$后都会趋于0。

第一部分：单个乘积项的方差和

因为$A_{j,n}$和$B_{j,n}$独立，所以单个乘积项的方差可以直接计算：
$$
\mathbb{V}(C_{j,n}) = \mathbb{E}(A_{j,n}^2B_{j,n}2) - (\mathbb{E}(A_{j,n}B_{j,n}))^2 = p_{A,n}p_{B,n}(1-p_{A,n}p_{B,n})
$$
显然$\mathbb{V}(C_{j,n})\leq p_{A,n}p_{B,n}\leq \max(p_{A,n},p_{B,n})$，所以求和后：
$$
\sum_{j=1}^n \mathbb{V}(C_{j,n}) \leq n\max(p_{A,n},p_{B,n})
$$
再看已知条件：$\mathbb{V}\left(\frac{1}{n}\sum A_{j,n}\right)\to0$，这意味着$\frac{1}{n}\sum A_{j,n}$依概率收敛到某个常数$\mu_A$（方差趋于0的随机序列必然依概率收敛），而$\mathbb{E}\left(\frac{1}{n}\sum A_{j,n}\right)=p_{A,n}$，所以$p_{A,n}$是收敛的有界序列，同理$p_{B,n}$也是有界的。因此：
$$
\frac{1}{n^2}\sum_{j=1}n \mathbb{V}(C_{j,n}) \leq \frac{\max(p_{A,n},p_{B,n})}{n} \to 0
$$

第二部分：乘积项之间的协方差和

利用A与B的独立性，我们可以把协方差拆成更易处理的形式：
$$
\text{Cov}(C_{i,n},C_{j,n}) = \mathbb{E}(A_{i,n}A_{j,n})\mathbb{E}(B_{i,n}B_{j,n}) - p_{A,n}^2p_{B,n}2
$$
再把$\mathbb{E}(A_{i,n}A_{j,n})=\text{Cov}(A_{i,n},A_{j,n})+p_{A,n}^{2$、$\mathbb{E}(B_{i,n}B_{j,n})=\text{Cov}(B_{i,n},B_{j,n})+p_{B,n}}2$代入，得到：
$$
\text{Cov}(C_{i,n},C_{j,n}) = \text{Cov}(A_i,A_j)\text{Cov}(B_i,B_j) + p_A^2\text{Cov}(B_i,B_j) + p_B^2\text{Cov}(A_i,A_j)
$$
现在分别处理这三项的和：

1. 对于$\sum_{i<j}\text{Cov}(A_i,A_j)$，我们可以用A的方差公式反推：
   $$
   \text{Var}\left(\sum_{j=1}^n A_{j,n}\right) = \sum_{j=1}^n \text{Var}(A_{j,n}) + 2\sum_{i<j}\text{Cov}(A_i,A_j)
   $$
   整理后得到：
   $$
   \sum_{i<j}\text{Cov}(A_i,A_j) = \frac{1}{2}\left[\text{Var}\left(\sum A_j\right) - \sum \text{Var}(A_j)\right]
   $$
   除以$n^2$后：
   $$
   \frac{1}{n^2}\sum_{i<j}\text{Cov}(A_i,A_j) = \frac{1}{2}\left[n^2\text{Var}\left(\frac{1}{n}\sum A_j\right) - \frac{1}{n}\sum \text{Var}(A_j)\right]
   $$
   已知$\text{Var}\left(\frac{1}{n}\sum A_j\right)\to0$，而$\frac{1}{n}\sum \text{Var}(A_j)=p_A(1-p_A)$是收敛的有界量，所以这部分趋于0。同理，$\frac{1}{n^2}\sum_{i<j}\text{Cov}(B_i,B_j)\to0$。
2. 对于$\sum_{i<j}\text{Cov}(A_i,A_j)\text{Cov}(B_i,B_j)$，因为$\sum_{i<j}\text{Cov}(A_i,A_j)=o(n^{2)$（由上面的推导），而$\text{Cov}(B_i,B_j)$是有界的（不超过$p_B(1-p_B)$），所以这部分的和也是$o(n}2)$，除以$n^2$后趋于0。

综上，协方差和除以$n^2$后也趋于0，因此整个目标方差必然趋于0。

为什么你的放缩没走通 #

你之前用$A_{j,n}B_{j,n}\leq A_{j,n}$来放缩的思路方向没问题，但这个放缩太粗糙了——乘积项的协方差结构和A的协方差结构完全不同，直接放缩会丢失A与B独立的关键信息，所以没法直接关联到已知的方差收敛条件。换用方差展开+独立性拆分的方式，就能准确利用题目给的条件了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者AlmostSureUser