使用Givens旋转将矩阵约化为Hessenberg形的实现问题

问题1：标准方法说明 #

存在用Givens旋转实现上Hessenberg相似约化的标准方法，核心是双侧Givens旋转：对矩阵A左乘Givens旋转矩阵G消去目标位置元素后，必须右乘G的转置（G是正交矩阵，转置等于逆），保证变换为相似变换（即$A \leftarrow GAG^T$）。

你的现有代码仅执行了左乘Givens旋转，未右乘其转置，既无法保证相似性，还会导致后续操作破坏已生成的零元素，自然得不到正确的Hessenberg形。

问题2：参考资料与伪代码 #

标准流程伪代码 #

对于n阶方阵A，上Hessenberg相似约化的伪代码如下：

for k from 0 to n-3:
    for j from n-1 down to k+2:
        # 构造Givens旋转矩阵G，用于消去A[j][k]
        x = A[k+1][k]
        y = A[j][k]
        r = sqrt(x² + y²)
        c = x / r
        s = -y / r
        # 左乘G：G*A，消去A[j][k]
        for col from k to n-1:
            temp = c*A[k+1][col] - s*A[j][col]
            A[j][col] = s*A[k+1][col] + c*A[j][col]
            A[k+1][col] = temp
        # 右乘G^T：A*G^T，保证相似变换，避免破坏已生成的零
        for row from 0 to n-1:
            temp = c*A[row][k+1] + s*A[row][j]
            A[row][j] = -s*A[row][k+1] + c*A[row][j]
            A[row][k+1] = temp

参考资料 #

• 《数值线性代数》（李庆扬等著）：详细讲解相似约化的正交变换方法，包含Givens旋转实现Hessenberg形的完整步骤。
• 《Matrix Computations》（Golub & Van Loan）：经典数值计算专著，对Givens旋转的相似变换应用有严谨推导和流程说明。

修正后的Python代码示例 #

import numpy as np

def hessenberg_givens(A):
    n = A.shape[0]
    for k in range(n - 2):
        # 从下往上处理第k列中k+2到n-1行的元素
        for j in range(n - 1, k + 1, -1):
            if j == k+1:
                continue  # 保留Hessenberg形允许的非零行
            x = A[k+1, k]
            y = A[j, k]
            if np.isclose(y, 0):
                continue
            r = np.sqrt(x**2 + y**2)
            c = x / r
            s = -y / r

            # 左乘Givens矩阵G：G*A
            for col in range(k, n):
                temp = c * A[k+1, col] - s * A[j, col]
                A[j, col] = s * A[k+1, col] + c * A[j, col]
                A[k+1, col] = temp

            # 右乘G^T：A*G^T
            for row in range(n):
                temp = c * A[row, k+1] + s * A[row, j]
                A[row, j] = -s * A[row, k+1] + c * A[row, j]
                A[row, k+1] = temp
    return A

# 测试示例
if __name__ == "__main__":
    A = np.array([[1,2,3,4],[5,6,7,8],[9,10,11,12],[13,14,15,16]], dtype=np.float64)
    H = hessenberg_givens(A.copy())
    print("上Hessenberg形矩阵：")
    print(H)

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ldro