极丰富线丛下线性系$|H\otimes\mathfrak{m}_x^2|$的基点集维数求解

我来梳理下这个问题的背景和目前的探索思路，希望能和大家一起找到突破方向：

首先明确问题本身：

设$X$是维数$n\geq1$的光滑复射影簇，$H$是$X$上的极丰富线丛，且$X\ncong\mathbb{P}^n$。取定闭点$x\in X$，记$\mathfrak{m}_x\subset\mathcal{O}_X$为其理想层。令$V=|H\otimes\mathfrak{m}_x^2|$是$|H|$中所有在$x$点重数至少为2的除子构成的子线性系，求$V$的基点集的维数？

目前已经推导出来的部分结论：

• 因为$H$极丰富，所以限制映射$\rho\colon H^0(H)\rightarrow H^{0(H/\mathfrak{m}_x}2)\cong\mathbb{C}^{{n+1}$是满射。但这不是同构，因为$h}0(H)>n+1$（否则$X$就同构于$\mathbb{P}^{n$了），所以$V=H}0(H\otimes\mathfrak{m}_x^2)=\ker(\rho)$非空。
• 当$H$是某个极丰富除子$L$的两倍（即$H=2L$）时，基点集就是${x}$：对于任意$y\neq x$，我们可以取$|L|$中的两个除子$L_1,L_2$，让它们都包含$x$但不包含$y$，那么$H=L_1+L_2$就属于$V$且不经过$y$，所以$y$不是基点。

不过到这里，一般情况的求解就卡住了，有没有大佬能帮忙补充思路或者给出完整解答呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MaryMoon