有限群自由作用下Hausdorff空间与其商空间的第二可数性逆问题

嘿，这个问题我刚好有思路，咱们一步步梳理清楚~

首先先回顾你提到的已知结论：

设有限群$G$自由作用在Hausdorff空间$X$上（每个群元素对应的映射$x \mapsto g \cdot x$都是同胚），此时商映射$p: X \rightarrow X/G$是开映射——你已经证明了：对$X$中任意开集$U$，$p^{-1}(p(U))= \bigcup_{g \in G} g U$是$X$中的开集，因此$p(U)$是$X/G$中的开集。进一步还能推出，若$X$有拓扑基${ B_i }{i \in I}$，则${ p(B_i) }{i \in I}$是$X/G$的拓扑基，所以当$X$是第二可数空间时，$X/G$也必然是第二可数的。

你的核心问题是：反过来，如果$X/G$是第二可数的，能不能推出$X$也是第二可数的？答案是肯定的，下面给你详细的证明思路：

因为$G$是有限群且在Hausdorff空间$X$上自由作用，商映射$p$其实是一个有限覆盖映射。具体来说，对$X$中任意一点$x$，我们可以找到$x$的一个邻域$V$，使得对任意$g \in G \setminus {e}$，$gV \cap V = \emptyset$（这是自由作用+Hausdorff性质的推论：对每个非单位元$g$，$g \cdot x \neq x$，Hausdorff空间中存在$x$和$g \cdot x$的不交邻域，再结合作用的连续性，就能构造出这样的$V$）。此时$p|V$是$V$到$p(V)$的同胚，且$p^{-1}(p(V)) = \bigcup{g \in G} gV$，这些$gV$两两不交。

现在假设$X/G$是第二可数的，那么它存在可数拓扑基${ U_i }_{i \in \mathbb{N}}$。对每个$U_i$，我们取上面所说的$V_i \subseteq X$，使得$p(V_i) = U_i$且${ gV_i \mid g \in G }$两两不交。那么集合${ gV_i \mid i \in \mathbb{N}, g \in G }$就是$X$的一个拓扑基：

• 这些集合都是$X$中的开集：因为$p$是开映射，$U_i$是开集，所以$V_i$是开集；而群作用是同胚，$gV_i$自然也是开集；
• $X$中任意开集$U$都可以表示为这些集合的并：$p(U)$是$X/G$中的开集，因此$p(U)$可以写成若干个$U_i$的并，于是$U = p^{-1}(p(U)) = \bigcup_{i} p^{-1}(U_i) = \bigcup_{i,g} gV_i$。

由于$G$是有限群，${ U_i }$是可数集合，所以${ gV_i }$的总数是可数×有限=可数，也就是说$X$有可数拓扑基，因此$X$是第二可数的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Maurizio Barbato