复多项式根的验证问题求助
今天碰到这么个问题，想请大家给指个方向：
给定多项式 $P(z) = z^8 - \frac{5}{2}z^4 + 1$，假设 $\omega$ 是 $P(z)$ 的一个根，证明 $i\omega$ 和 $\frac{1}{\omega}$ 也都是 $P(z)$ 的根。
我已经搞定了 $i\omega$ 这部分，推导过程是这样的：
$$ P(i\omega) = (i\omega)^8 - \frac{5}{2}(i\omega)^4 + 1$$
因为 $i^4 = 1$，所以 $i^8 = (i4)2 = 1$，代入后就得到：
$$ P(i\omega) = \omega^8 - \frac{5}{2}\omega^4 + 1 = P(\omega) = 0$$
这样就证明了 $i\omega$ 是根。
不过对于 $\frac{1}{\omega}$ 这部分我有点摸不着头绪，代入多项式后得到：
$$ P\bigg(\frac{1}{\omega}\bigg) = \bigg(\frac{1}{\omega}\bigg)^8 - \frac{5}{2}\bigg(\frac{1}{\omega}\bigg)^4 + 1$$
不知道接下来该怎么推导才能证明它等于0，提前谢谢大家啦！
解答思路
其实这里可以利用已知条件 $\omega$ 是根来变形推导：
因为 $\omega$ 是 $P(z)$ 的根，所以 $P(\omega) = \omega^8 - \frac{5}{2}\omega^4 + 1 = 0$。
由于 $\omega$ 是多项式的根，显然 $\omega \neq 0$，我们可以给等式两边同时乘以 $\omega^{-8}$（也就是 $\frac{1}{\omega^8}$）：
$$ \omega^8 \cdot \omega^{-8} - \frac{5}{2}\omega^4 \cdot \omega^{-8} + 1 \cdot \omega^{-8} = 0 \cdot \omega^{-8}$$
化简每一项：
$$ 1 - \frac{5}{2}\omega^{-4} + \omega^{-8} = 0$$
把项的顺序调整一下，就得到：
$$ \omega^{-8} - \frac{5}{2}\omega^{-4} + 1 = 0$$
也就是：
$$ \bigg(\frac{1}{\omega}\bigg)^8 - \frac{5}{2}\bigg(\frac{1}{\omega}\bigg)^4 + 1 = 0$$
这正好就是 $P\left(\frac{1}{\omega}\right)=0$，所以 $\frac{1}{\omega}$ 也是 $P(z)$ 的根啦。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Stephan
