关于微分方程$rac{dx}{dt}=x²-5x+6$稳态解及稳定性求解的正确性验证请求

嗨，我来帮你梳理下这个微分方程的求解对错哈～

先看看你的尝试内容：

我的尝试：
为了找到稳态解，令$\frac{dx}{dt}=0$，求解得到$x=2,3$，因为这两个点都是实数、不同且为正，所以它们是不稳定节点。

咱们一步步分析：

• 稳态解的求解是正确的：令$\frac{dx}{dt}=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0$，确实能得到$x=2$和$x=3$这两个稳态平衡点，这部分没问题。
• 稳定性判断有误：不能只凭“实、不同、正”就判定都是不稳定节点哦，对于一维自治微分方程$\frac{dx}{dt}=f(x)$，稳态解的稳定性要通过$f(x)$在该点的导数符号来判断：
  • 若$f'(x^*) < 0$，该稳态解是稳定节点（汇点），附近的解会趋近于它；
  • 若$f'(x^*) > 0$，该稳态解是不稳定节点（源点），附近的解会远离它。

咱们来计算导数验证：
$f(x)=x^2-5x+6$，所以$f'(x)=2x-5$

• 代入$x=2$：$f'(2)=2\times2-5=-1 < 0$，因此$x=2$是稳定节点；
• 代入$x=3$：$f'(3)=2\times3-5=1 > 0$，因此$x=3$是不稳定节点。

总结一下：你找稳态解的部分完全正确，但稳定性的判断错了，只有$x=3$是不稳定节点，$x=2$是稳定节点哦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Newuser1155953