关于级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (\frac{1}{n^2})}{\sqrt{2n+1}}$敛散性的判断及推理验证请求

嗨，我想确认一下我对这个级数敛散性的推理是否正确，级数是$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (\frac{1}{n^2})}{\sqrt{2n+1}}$。

我的推理过程如下：

• 首先，对于所有正整数$n$，$\displaystyle \frac{1}{n^2} \in (0,1]$。余弦函数$\cos x$在区间$(0,1]$上是单调递减且恒正的，并且$\cos 1 > 0$。
• 其次，由于对任意$n \in \mathbb{N}$，$\displaystyle 1 \geq \frac{1}{n^2}$，结合$\cos x$在$(0,1]$上的递减性质，可以得出：$\displaystyle \cos 1 \leq \cos\left(\frac{1}{n^2}\right)$，对所有正整数$n$均成立。
• 基于上述结论，级数的通项满足：$\displaystyle a_n = \frac{\cos \left(\frac{1}{n^2}\right)}{\sqrt{2n+1}} \geq \frac{\cos 1}{\sqrt{2n+1}} = b_n$。
• 我们知道级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}b_n$是发散的——因为$\frac{\cos1}{\sqrt{2n+1}}$与$\frac{1}{\sqrt{n}}$是同阶无穷小，而$\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$是p值为$\frac{1}{2}$的p级数，p<1时级数发散。根据比较判别法，原级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$也必然发散。

麻烦大家帮我看看这个推理有没有问题，欢迎给我任何建议！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者LegendCero