局部凸拓扑向量空间中应用Hahn-Banach分离定理时紧集的构造疑问

我现在正在梳理Hahn-Banach定理在一段证明里的应用逻辑，看起来证明用的是局部凸空间的版本（因为不等式是严格的），对应维基百科截图里的第二个要点，而我手头的教材里的表述也基本一致。

根据维基百科的说明，Hahn-Banach分离定理要求待分离的集合$A,B$满足以下条件：

• 非空、凸、不相交
• 其中一个是闭集，另一个是紧集

我正在读的证明里，$B = \text{epi } f$，根据证明开头的推导，它是闭的、凸的、非空的，这部分我已经搞清楚了。但现在困惑的是，$A$到底是什么？

我尝试过这样推导：因为$B$是闭集，所以它的补集$B^C$是开集。对于点$(x_0,t_0) \in B^C$，存在一个开集$U \subseteq B^C$使得$(x_0,t_0) \in U$。又因为空间是局部凸的（每个点的开邻域都包含一个凸邻域），所以存在一个凸集$A \subseteq U$，满足$(x_0,t_0) \in A$。显然$A$和$B$是不相交的，但我没法证明$A$是紧集——这该怎么处理？如果这条路走不通的话，是不是应该找一个开集$A$来用第一个要点？可那样的话，我又不知道怎么解释两端的严格不等式了。

下面是我正在读的证明的开头部分：

（出自教材：A Course on Large Deviations with an Introduction to Gibbs Measures，作者Firas Rassoul-Agha，第53页）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者some_math_guy