有限维向量空间线性映射下原像子空间的性质证明求助

嘿，我看你已经顺利搞定了(a)、(d)和(e)这几个性质，卡在(b)和(c)上，而且觉得它们看起来很直观，但不知道怎么给出严谨的证明对吧？别着急，咱们一步步来拆解这两个部分：

(b) 证明 $\dim L^{-1}(S)= \dim L^{-1}(S \cap \text{im } L)$ #

其实这个结论的核心是**$L^{-1}(S)$ 和 $L^{-1}(S \cap \text{im } L)$ 是同一个集合**，维度自然相等。咱们来严谨验证集合相等：

• 首先取任意 $v \in L^{-1}(S)$，根据原像的定义，$L(v) \in S$；同时，$L(v)$ 本身就是线性映射 $L$ 的像，所以 $L(v) \in \text{im } L$。因此 $L(v) \in S \cap \text{im } L$，即 $v \in L^{-1}(S \cap \text{im } L)$。
• 反过来，取任意 $v \in L^{-1}(S \cap \text{im } L)$，则 $L(v) \in S \cap \text{im } L$，显然 $L(v) \in S$，所以 $v \in L^{-1}(S)$。

既然两个集合完全相同，它们的维度必然相等，这就证明了(b)。

(c) 证明限制映射 $L_{\big|L^{-1}(S)}: L^{-1}(S) → S \cap \text{im } L$ 是线性且满射的线性映射 #

第一步：证明线性性

因为原映射 $L: V \to W$ 是线性的，而 $L^{-1}(S)$ 是 $V$ 的子空间（你已经在(a)中证明了这一点），限制映射的线性性可以直接用线性映射的定义验证：
对于任意 $u, v \in L^{-1}(S)$，任意标量 $a$（来自向量空间的基域）：

1. $L(u + v) = L(u) + L(v)$，而 $L(u) \in S$，$L(v) \in S$，$S$ 是子空间，所以 $L(u) + L(v) \in S$；同时 $L(u)+L(v) \in \text{im } L$，因此 $L(u+v) \in S \cap \text{im } L$。
2. $L(av) = aL(v)$，同理，$aL(v) \in S$（子空间对标量乘法封闭）且 $aL(v) \in \text{im } L$，所以 $L(av) \in S \cap \text{im } L$。

这就满足了线性映射的定义，所以 $L_{\big|L^{-1}(S)}$ 是线性的。

第二步：证明满射性

满射的定义是：对于任意 $w \in S \cap \text{im } L$，存在 $v \in L^{-1}(S)$ 使得 $L(v) = w$。

• 因为 $w \in \text{im } L$，根据像空间的定义，存在某个 $v \in V$ 使得 $L(v) = w$；
• 又因为 $w \in S$，所以 $v \in L^{-1}(S)$（原像的定义）。

这样就找到了对应的 $v$，说明限制映射是满射的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者NotNow11