请求解：离心率为2、焦点为(2,4)、渐近线为2x-y=5的双曲线的通径（附解题尝试及卡点）

问题描述 #

已知双曲线的一条渐近线为 $2x - y = 5$，一个焦点为 $(2,4)$，离心率 $e=2$，求该双曲线的通径长度。

我的解题尝试 #

我知道渐近线与焦点和中心连线的夹角为 $\arccos \frac{1}{e} = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$。为了将给定的渐近线旋转 $\frac{\pi}{3}$ 角度，我用 $x'$ 和 $y'$ 替换 $x$ 和 $y$，其中旋转矩阵为：
$$\begin{bmatrix}x'\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\y \end{bmatrix}$$
计算后得到：
$$\begin{bmatrix}x'\y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{x}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}y\\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{y}{2} \end{bmatrix}$$

将其代入渐近线方程 $2x - y = 5$，得到旋转后的直线方程：
$$x(1-\frac{\sqrt{3}}{2}) - y(\sqrt{3} + \frac{1}{2}) + k = 0$$

这条直线应该经过给定的焦点 $(2,4)$，代入坐标后求得 $k=5\sqrt{3}$，因此焦点与中心连线的方程为：
$$x(1-\frac{\sqrt{3}}{2}) - y(\sqrt{3} + \frac{1}{2}) + 5\sqrt{3}=0$$

卡点 #

到这里我就卡住了，不知道接下来该怎么继续推导，希望有人能帮忙解下去。另外我还在上高中，所以尽量不要用太复杂的高等概念，谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Grimm