排队模型研究中求解函数方程以获取概率生成函数（PGF）的技术求助

各位好，我在研究一个排队模型时，需要通过求解下面的函数方程来得到概率生成函数（PGF） $G(z)$：

$$\lambda(z(1-p)+p)G((1-p)z)-(\mu+\lambda p)(1-p)G(z)=(\lambda p-(\mu+\lambda p)(1-p))\pi_0$$

这里的$\lambda, \mu, p, \pi_0$都是参数，且满足$0<p<1$。

因为$G(z)$是PGF，所以我们知道它满足$G(0)=\pi_0$和$G(1)=1$。我先代入$z=1$，得到了：

$$G(1-p)=\frac{(\lambda p-(\mu+\lambda p)(1-p))\pi_0+(\mu+\lambda p)(1-p)}{\lambda}$$

之后我又分别代入$z=1/(1-p)$、$z=1-p$和$z=(1-p)^2$，得到了以下几个表达式：

$$G(\frac{1}{1-p})=\frac{\lambda(1+p)-(\lambda p-(\mu+\lambda p)(1-p))\pi_0}{(\mu+\lambda p)(1-p)}$$

$$G((1-p)^2)=\frac{(\lambda p-(\mu+\lambda p)(1-p))\pi_0+(\mu+\lambda p)(1-p)G(1-p)}{\lambda}$$

$$G((1-p)^3)=\frac{(\lambda p-(\mu+\lambda p)(1-p))\pi_0+(\mu+\lambda p)(1-p)G(1-p)^2}{\lambda}$$

考虑到PGF不可能是多项式函数，我假设$G(z)$是如下形式的有理函数：

$$G(z)=\frac{az^2+bz+c}{dz2+ez+f}$$

然后我用上面得到的六个表达式（包括$G(0)=\pi_0$、$G(1)=1$）列了六个方程，尝试求解系数$a, b, c, d, e, f$，但发现这个方程组没有可行解。

希望有大佬能给我一些思路或者帮助，谢谢大家！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者גבי חנוכוב