关于《深度学习》（Goodfellow等，2016）中随机变量定义与标准定义差异的疑问

你观察得非常仔细——这个差异确实存在，不少刚接触深度学习的同学都会有类似的困惑，我来帮你梳理清楚：

首先先明确书中的定义（引用自第3.2节）：

随机变量是可以随机取不同值的变量。我们通常用普通字体的小写字母表示随机变量本身，用小写手写体字母表示它可能取到的值。例如，$x_1$ 和 $x_2$ 都是随机变量 $x$ 可能取到的值。对于向量值变量，我们会将随机变量写为 $\boldsymbol{x}$，它的一个值写为 $\boldsymbol{x}$。随机变量本身只是对可能状态的描述；它必须与一个概率分布结合，才能指定每个状态的可能性。

随机变量可以是离散的或连续的。离散随机变量具有有限或可数无限个状态。请注意，这些状态不一定是整数；它们也可以是不被视为具有任何数值的命名状态。连续随机变量与实数值相关联。

你提到的标准定义（从样本空间到可测空间的映射，要求取值为数值）是测度论视角下的严谨表述，也是传统概率论教材里的常规定义。而《深度学习》里的定义确实更偏向实验结果的代名词——它把随机变量直接等同于「可能的结果集合」，而非那个从样本空间到数值空间的映射函数。

这个差异在期望的定义上体现得格外明显：

• 标准离散期望的定义是：
  $$\mathbb{E}[X] = \sum_x xP(x)$$
  这里的$X$就是那个映射函数，$x$是它输出的数值，直接参与求和运算。
• 而《深度学习》第3.8节的期望定义是：
  $$\mathbb{E}_{x \sim P}[f(x)] = \sum_x P(x)f(x)$$
  这里的$x$更像是实验的原始结果（可能是非数值的，比如「正面/反面」分类标签、图像样本），必须通过函数$f$转换成数值后才能计算期望——这个$f$其实就承担了标准定义里随机变量的「映射」职责。

你的理解完全正确！至于为什么要偏离标准定义，主要有两个核心原因：

• 实用性优先：深度学习领域处理的对象经常是非数值的（文本、图像、分类标签等），如果严格遵循测度论定义，每次都要先把这些对象映射到数值空间，会增加不必要的繁琐表述。直接把「实验结果」称为随机变量，更符合从业者的日常语境，沟通效率更高。
• 降低入门门槛：《深度学习》的目标读者是计算机科学、工程领域的从业者，他们可能没有系统学习过测度论。用更直观、贴近实际应用的定义，可以避免一开始就陷入复杂的数学形式主义，让读者更快聚焦到核心概念上。

当然，这种简化确实会带来混淆——尤其是当读者同时学习严谨的概率论教材时。但换个角度看，这其实是领域特定的「术语简化」，就像程序员会把「对象实例」简称为「对象」一样，本质上是为了适配领域的使用场景。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jay Mody