求当$x \to 0^+$时满足$\frac{e^x(1-\log x)}{x^3-x^2} = o(x^a)$的实数$a$的取值范围

嗨，我来帮你搞定这个小o符号的问题！首先咱们先把问题的核心理清楚：根据小o的定义，我们要找所有实数$a$，使得当$x \to 0^{+$时，$\frac{e}x(1-\log x)}{x^3-x2}$相对于$x^a$是高阶无穷小，也就是：
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x(1-\log x)}{x^a(x3 - x^2)} = 0$$

接下来咱们一步步简化这个表达式，先处理分母的$x^3 - x^{2$，提取公因子$x}2$后，分母变成$x^2(x - 1)$，所以原式可以改写为：
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x(1-\log x)}{x^{a+2}(x - 1)}$$

现在看各个部分在$x \to 0^+$时的趋势：

• $e^x$趋近于1，是个非零常数，不会改变极限的最终趋势；
• $x - 1$趋近于-1，也是非零常数，同样不影响；
• 真正关键的部分是$\frac{1 - \log x}{x^{a+2}}$，因为前面的常数因子不影响极限是否为0，所以我们只需要分析这个分式的极限是否为0就行。

接下来分析这个关键极限：
当$x \to 0^+$时，$\log x$趋向于$-\infty$，所以$1 - \log x$肯定趋向于$+\infty$。现在看分母$x^{a+2}$的趋势，取决于指数$k = a+2$的符号：

• 如果$k > 0$（也就是$a > -2$）：$x^{k$趋向于0，此时分式是$\frac{+\infty}{0}+}$，极限是$+\infty$，不符合要求；
• 如果$k = 0$（也就是$a = -2$）：分母变成1，极限就是$+\infty$，也不行；
• 如果$k < 0$（也就是$a < -2$）：此时$x^k = \frac{1}{x^{-k}}$，其中$-k > 0$，所以分母趋向于$+\infty$，这时候我们得到$\frac{+\infty}{+\infty}$的不定式。这里不用洛必达也能搞定——咱们都知道对数函数的增长速度比任何正幂次的多项式都慢，所以分子$1 - \log x$（也就是$\log(1/x)+1$）的增长远远慢于分母$x^{k$（也就是$(1/x)}{-k}$，$-k>0$），所以这个极限肯定是0，正好符合我们的要求！

所以总结一下：当且仅当$a < -2$时，原等式成立。

对了，你提到泰勒级数，其实$e^x$在$x\to0$时的泰勒展开是$1+x+o(x)$，但因为它趋近于1，所以对结果没什么影响，这里的核心还是对数函数和幂函数的增长速率对比~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jontao