寻求可使用维基百科格林函数表求解的二维稳态PDE边值问题测试案例

我完全懂你的烦恼——自己搭测试案例时遇到积分不收敛的问题真的很挫败，尤其是想验证格林函数表的时候。这里给你一个绝对靠谱、积分计算超简洁的二维稳态泊松方程边值问题，刚好能用上单位正方形区域的齐次狄利克雷格林函数（就是你提到的表里的标准格林函数）：

测试案例：单位正方形上的齐次狄利克雷泊松问题 #

考虑区域 (0 < x,y < 1)，求解：
$$\Delta u(x,y) = -2\pi^2 \sin(\pi x) \sin(\pi y); \quad 0 < x,y < 1$$
边界条件为全齐次狄利克雷边界：
$$
\begin{cases}
u(0,y) = 0, \
u(1,y) = 0, \
u(x,0) = 0, \
u(x,1) = 0
\end{cases}
$$

为什么这个案例适合验证格林函数？

• 右端项(-2\pi^2 \sin(\pi x) \sin(\pi y))是拉普拉斯算子在矩形区域的特征函数，和格林函数的级数展开项完美匹配。计算积分时利用三角函数的正交性，只会保留唯一的非零项，完全不用担心收敛问题。
• 对应的格林函数（单位正方形齐次狄利克雷边界）级数形式是你应该能在表里找到的：
  $$G(x,y;x',y') = \frac{4}{\pi} \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(m\pi x)\sin(m\pi x')\sin(n\pi y)\sin(n\pi y')}{m^2 + n^2}$$

手动验证过程（超简单）

根据格林函数的解公式：
$$u(x,y) = \int_0^1 \int_0^1 G(x,y;x',y') \cdot \left(-2\pi^2 \sin(\pi x') \sin(\pi y')\right) dx' dy'$$

代入格林函数级数后，利用三角函数正交性：
$$\int_0^1 \sin(m\pi x')\sin(\pi x') dx' = \begin{cases} \frac{1}{2}, & m=1 \ 0, & m \neq 1 \end{cases}$$
对(y')的积分结果完全一样。所以只有(m=1,n=1)的项会保留下来，其他项积分后都是0：

$$
\begin{align*}
u(x,y) &= \frac{4}{\pi} \cdot \frac{\sin(\pi x)\sin(\pi y)}{1^2 + 1^2} \cdot (-2\pi^2) \cdot \left(\int_0^1 \sin(\pi x') dx'\right) \cdot \left(\int_0^1 \sin(\pi y') dy'\right) \
&= \frac{4}{\pi} \cdot \frac{\sin(\pi x)\sin(\pi y)}{2} \cdot (-2\pi^2) \cdot \frac{2}{\pi} \cdot \frac{2}{\pi} \
&= \sin(\pi x)\sin(\pi y)
\end{align*}
$$

现在验证这个解是否符合要求：

1. 边界条件：当(x=0/1)或(y=0/1)时，(\sin(\pi x))或(\sin(\pi y))等于0，所以(u=0)，完美满足所有齐次边界。
2. 原方程：计算拉普拉斯算子：
   $$\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\pi^2 \sin(\pi x)\sin(\pi y) - \pi^2 \sin(\pi x)\sin(\pi y) = -2\pi^2 \sin(\pi x)\sin(\pi y)$$
   正好等于原方程的右端项。

这个案例的计算几乎没有复杂度，积分收敛性完全不用担心，特别适合用来做格林函数的 sanity check。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Researcher R