求更多含最大公约数（GCD）的积分公式及对应解法

最近我对涉及最大公约数（GCD）的积分产生了浓厚兴趣，一直在琢磨能不能找到更多这类有意思的积分。先分享几个我已经整理出来的例子：

$$\int_0^\pi \sin^2(ab x) \cot(ax)\cot(bx)dx=\left(\frac{2\color{red}{\gcd(a,b)}-1}{2}\right)\pi$$

$$\int_0^{\pi/2}\ln{\lvert\sin(mx)\rvert}\cdot \ln{\lvert\sin(nx)\rvert}, dx=\frac{\pi^{3}{24}\frac{\color{red}{\gcd}2(m,n)}}{mn}+\frac{\pi\ln^2(2)}{2}$$

$$\int_{0}^{{\pi}\arctan\left(\cot\left(mt\right)\right)\arctan\left(\cot\left(nt\right)\right)dt=\frac{\pi}{3}}{12}\cdot\frac{\color{red}{\gcd^2\left(m,n\right)}}{mn}$$

$$\int_{0}^{1}\lfloor{ax}\rfloor \lfloor{bx}\rfloor dx=\frac{\color{red}{\gcd^2\left(a,b\right)}}{12ab}-\frac{a}{4}-\frac{b}{4}-\frac{b}{12a}-\frac{a}{12b}+\frac{ab}{3}+\frac{1}{4}$$

还有一个带条件的积分：

若 $c$ 不是 $\gcd(a,b)$ 的倍数，则：
$$\int_{0}^{\pi/2}\cos{2}\left(ct\right)\ln\left(\left|\sin at\right|\right)\ln\left(\left|\sin bt\right|\right)dt=\frac{\pi^{{3}}{48}\frac{\color{red}{\gcd}{2}\left(a,b\right)}}{ab}+\frac{\pi\ln^{2}\left(2\right)}{4}$$

其实这不算一个严格的问题，我只是单纯好奇有没有更多这类积分。如果你有新的这类积分公式，欢迎分享，最好能附带解法~ 我之后也会持续补充更多相关积分。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Miracle Invoker