复合分布生成函数展开及概率质量函数推导疑问

首先，你的思路方向完全正确——用负二项式展开处理$(1-\rho s)^{-i}$项是关键，只是可能在求和顺序交换和组合数转换这两步没衔接上，我来一步步拆解整个推导过程：

步骤1：明确核心目标 #

生成函数的核心性质是：随机变量$N$的概率质量函数$P(N=m)$，就是其生成函数$G_N(s)$中$s^{m$项的系数。所以我们的任务就是把给定的$G_N(s)$展开成$s$的幂级数，再提取$s}m$的系数。

步骤2：代入负二项式展开 #

先看你给出的$G_N(s)$展开形式（注：原式里的分母$m!$是笔误，实际应为$i!$）：
$$G_N(s)=e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{i !}\left(\lambda(1-\rho) s\right)^i\left(1-\rho s\right)^{-i}$$

对其中的$(1-\rho s)^{-i}$用负二项式展开，正确的展开公式是：
$$(1 - z)^{-r} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{k + r - 1}{k} z^k$$
这里令$z=\rho s$，$r=i$，代入后得到：
$$(1-\rho s)^{-i} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{k + i - 1}{k} (\rho s)^k$$

步骤3：合并级数并交换求和顺序 #

把这个展开式代回$G_N(s)$，得到：
$$G_N(s) = e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{[\lambda(1-\rho)s]^i}{i!} \sum_{k=0}^{\infty} \binom{k + i - 1}{k} \rho^k s^k$$

现在要合并$s$的幂次：$s^i \cdot s^k = s^{i+k}$。令$m = i + k$，则$k = m - i$，同时调整求和范围：

• 当$i$固定时，$k\geq0$意味着$m \geq i$；
• 对于每个$m$，$i$的取值范围是$0 \leq i \leq m$（因为$k=m-i\geq0$）。

交换求和顺序后，式子变成按$s$的幂次分组的形式：
$$G_N(s) = e^{-\lambda} \sum_{m=0}^{\infty} \left[ \sum_{i=0}^m \frac{[\lambda(1-\rho)]^i}{i!} \binom{(m-i) + i - 1}{m-i} \rho^{m-i} \right] s^m$$

步骤4：简化组合数 #

注意到组合数$\binom{(m-i)+i-1}{m-i} = \binom{m-1}{m-i}$，根据组合数的对称性$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$，这里$n=m-1$，$k=m-i$，所以：
$$\binom{m-1}{m-i} = \binom{m-1}{(m-1)-(m-i)} = \binom{m-1}{i-1}$$

另外，当$i=0$时，$\binom{m-1}{-1}=0$，这一项对求和没有贡献，不过保留$i=0$的范围也不影响最终结果。

步骤5：提取$s^m$的系数 #

此时$s^m$的系数就是$P(N=m)$，也就是作者给出的表达式：
$$P(N=m)=e^{-\lambda} \sum_{i=0}^m \frac{1}{i !} \binom{m-1}{i-1}[\lambda(1-\rho)]^i \rho^{m-i}$$

整个推导的关键就是通过交换求和顺序，把双重级数转换成按$s$的幂次分组的形式，再利用组合数的对称性简化项，这样就能得到目标PMF了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者statian