玻璃球问题衍生的两个求和式相等的纯代数证明方法问询

我最近从玻璃球问题的递推关系出发，推导出了一个新的求和表达式，并且通过递推验证、**数值验算（编写程序测试了多组满足$n>m>1$的$n,m$值）**确认它和已知的标准求和式完全相等，但卡在了纯代数证明这一步，想请教大家的思路和提示。

待证等式 #

对于满足$n>m>1$的正整数$n,m$，需要证明：
$$
\sum_{k=1}^{n-m} \frac{(n-m-k+3)(k+m-3)!}{(m-2)!(k-1)!} + \sum_{k=0}^{m-2} \frac{(2^{m-k})(n-m+k-1)!}{(k)!(n-m-1)!} = \sum_{k=0}^{m} \binom{n}{k}
$$

我的现状与困惑 #

• 我已经注意到左边求和式里的阶乘可以转化为二项式系数，但三个求和项（左边两个+右边一个）的上下限各不相同，尝试直接展开、交换求和顺序等常规方法后，式子变得异常复杂，完全找不到突破口。
• 这个等式的证明还有额外的价值：左边的表达式可以用超几何函数$\ _2F_1(1, b; c; \frac{1}{2})$表示，证明后能得到该超几何函数的一个实用恒等式。

需求说明 #

我已经通过“两边都是原递推关系的解+初始值匹配”的方法验证过等式成立，但我需要纯代数的证明思路，不需要依赖原问题的递推背景。任何可行的方向、技巧或者相关恒等式的提示都非常欢迎！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ronin