函数与其泰勒展开式的发散性差异疑问

嘿，这个问题问得特别关键，核心其实藏在泰勒展开的适用前提和极限操作的顺序里，咱们慢慢捋清楚：

首先先看a=1时的原函数：
$$f(a=1,x)=\frac{1}{(1-\sqrt{1-x^2})}$$
你说的没错，只要x是有限小（不等于0），这个函数完全不发散。咱们可以先化简它验证一下：给分子分母同乘$(1+\sqrt{1-x^2})$，得到：
$$f(1,x)=\frac{1+\sqrt{1-x^{2}}{(1-\sqrt{1-x}2})(1+\sqrt{1-x^{2})}=\frac{1+\sqrt{1-x}2}}{x^2}$$
当x很小的时候，$\sqrt{1-x^{2}\approx1-\frac{x}2}{2}+\mathcal{O}(x^4)$，代入进去就有：
$$f(1,x)\approx\frac{1+1-\frac{x^2}{2}}{x2}=\frac{2}{x^{2}-\frac{1}{2}+\mathcal{O}(x}2)$$
显然，只要x≠0，这个结果就是有限的，完全没问题。

那为什么原来的泰勒展开式代入a=1会发散呢？
原来的泰勒展开式$$f(a,x)=\frac{1}{1-a}-\frac{ax^2}{2(1-a)2}+\mathcal{O}(x^{4)$$是**固定a≠1的前提下，对x在0附近展开**得到的。这个展开式的推导依赖于$1-a\neq0$——毕竟展开的时候用到了几何级数$\frac{1}{1-y}=\sum_{n=0}}\infty y^{n$，这里的$y=a\sqrt{1-x}2}$，而几何级数收敛的前提是$|y|<1$，当a=1时，$y=\sqrt{1-x^{2}$，当x≠0时$|y|<1$，但原来的展开式是把$\sqrt{1-x}2}$再展开成x的幂级数，然后合并得到的，整个过程的基础是$1-a\neq0$，所以这个展开式根本不能直接代入a=1。

更深一层说，这是个极限顺序不能交换的问题：你相当于先做了“固定a≠1，对x→0展开”，然后再让a→1，但这和“先让a=1，再对x→0分析函数”是完全不同的两个操作。当a接近1但不等于1时，比如设a=1-ε（ε是很小的正数），原来的泰勒展开式变成$\frac{1}{\varepsilon}-\frac{(1-ε)x^2}{2ε2}+\mathcal{O}(x^4)$，这时候只有当x远小于√ε时，第二项才会远小于第一项，展开式才有效；但如果x和√ε量级差不多，两项就会相当，不能忽略。而当a=1时，ε=0，原来的展开式的适用条件（x远小于√ε）就不存在了，自然不能用它来描述a=1时的函数。

总结一下：原来的泰勒展开是针对a≠1的场景推导的，代入a=1本身就违背了它的适用前提；a=1时的函数是一个独立的表达式，需要单独化简或展开，它在x≠0时有限是合理的，和原来的展开式发散并不矛盾——毕竟两者的适用场景完全不一样。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者schris38