关于求证实数的每个真初等扩张都含有无穷小元素的技术咨询

嘿，你已经找对了关键的切入点！那个关于实数相等的一阶性质正是打开这个证明的钥匙，咱们一步步把它落地，还能用上你之前的观察：

首先明确前提：设$\mathbb{R}^{\ast$是$\mathbb{R}$的*真初等扩张*——这意味着$\mathbb{R}$可以自然嵌入$\mathbb{R}}\ast$，两者满足完全相同的一阶逻辑语句，且$\mathbb{R}^\ast$存在不属于$\mathbb{R}$的元素（毕竟是“真”扩张）。

咱们用反证法推进：假设$\mathbb{R}^{\ast$**没有无穷小元素**，也就是$\mathbb{R}}\ast$里所有正元素都大于某个正的标准实数（来自$\mathbb{R}^+$）。这时候你提到的那个等价性就生效了：$(\forall \varepsilon > 0)(\lvert x - y \rvert < \varepsilon)$等价于$(\forall \varepsilon \in \mathbb{R}^+) (\lvert x - y \rvert < \varepsilon)$，因为不存在比所有标准正实数都小的正元素。

现在取$\mathbb{R}^\ast \setminus \mathbb{R}$中的某个元素$a$，考虑集合$S = { r \in \mathbb{R} \mid r < a }$。由于$\mathbb{R}$是完备的，$S$必有上确界$s \in \mathbb{R}$。接下来分析$\lvert a - s \rvert$：

• 首先，$\lvert a - s \rvert > 0$，因为$a$不在$\mathbb{R}$中，而$s$是标准实数，两者必然不等。
• 根据你提到的那个一阶性质$\forall x \forall y (((\forall \varepsilon > 0)(\lvert x - y \rvert < \varepsilon)) \leftrightarrow x = y)$，这个性质在$\mathbb{R}$中成立，所以在$\mathbb{R}^\ast$中也必须成立（初等扩张的核心性质）。既然$a \neq s$，那$\mathbb{R}^\ast$中一定存在某个$\varepsilon_0 > 0$使得$\lvert a - s \rvert \geq \varepsilon_0$。
• 结合我们的假设（无无穷小），这个$\varepsilon_0$必然大于某个$r_0 \in \mathbb{R}^+$，也就是$\lvert a - s \rvert > r_0$。

现在分两种情况看，都会引出矛盾：

1. 如果$a > s$，那么$a > s + \frac{r_0}{2}$。但$s + \frac{r_0}{2}$是标准实数，且小于$a$，这意味着它属于集合$S$——可$s$是$S$的上确界，怎么会有比$s$大的元素属于$S$？直接矛盾。
2. 如果$a < s$，那么$a < s - \frac{r_0}{2}$。这时候$s - \frac{r_0}{2}$是$S$的一个上界，且比$s$小——可$s$是$S$的最小上确界，这也矛盾了。

这说明“$\mathbb{R}^{\ast$没有无穷小元素”的假设完全不成立，因此*每个真初等扩张$\mathbb{R}}\ast$中必然存在无穷小元素*——也就是那些正的、小于所有标准正实数的元素。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者zaq