关于作用在流形上的非半正则Lie群实例的技术问询

先明确下Peter J. Olver在书中给出的相关定义，方便理解后续例子：

在《Applications of Lie Groups to Differential Equations》中，Lie群作用在流形上的轨道被定义为流形中在群作用下封闭的极小子集（即轨道在群作用下封闭，且不包含任何在群作用下封闭的非平凡真子集）。给定Lie群作用在流形上的轨道都是该流形的子流形。如果所有轨道的维度都相同，Olver称这个Lie群作用是半正则的。

当然存在不少非半正则的Lie群作用实例，下面给你几个非平凡的例子：

• 实数加法群$\mathbb{R}$作用在平面$\mathbb{R}^2$上：
  定义作用为 t · (x,y) = (x + ty, y)。这里的轨道分为两类：

  • 当$y=0$时，每个点$(x,0)$都是单独的轨道（维度0），因为任何实数$t$作用后都还是$(x,0)$；
  • 当$y \neq 0$时，轨道是水平直线$y=c$（$c \neq 0$），维度为1，因为$t$取遍所有实数时，$x+ty$可以覆盖整个实数轴。
    显然轨道维度有0和1两种，不符合半正则的要求。

• 非零实数乘法群$\mathbb{R}^{*$作用在$\mathbb{R}}n$上：
  作用定义为 r · v = r v（$r \in \mathbb{R}^*, v \in \mathbb{R}^n$）。轨道包含：

  • 原点${0}$，是一个维度为0的轨道（任何非零实数乘原点还是原点）；
  • 所有过原点的直线去掉原点，这类轨道的维度为1。
    两种不同维度的轨道存在，因此这个作用不是半正则的。

• 圆周群$S^{1$作用在$\mathbb{R}}2$上：
  作用是标准的旋转操作：e^{i\theta} · (x,y) = (x\cos\theta - y\sin\theta, x\sin\theta + y\cos\theta)。轨道分为：

  • 原点${0}$，维度0；
  • 所有半径大于0的圆周，每个圆周都是一个维度为1的轨道。
    轨道维度不一致，所以这个作用也不是半正则的。

这些例子都是很直观的非平凡实例，能清晰体现轨道维度不同的情况，满足你要的非半正则条件。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者William Wright