关于Random Walk比例游戏期望收益的直观理解困惑及矛盾点问询

我最近碰到一个面试里的概率游戏问题，怎么想都绕不开其中的矛盾点，想请大家帮忙捋清楚：

这个游戏的规则是这样的：

• 一开始你有1枚可无限分割的硬币
• 每次抛一枚公平硬币：
  • 掷出正面，你的现金直接翻倍
  • 掷出反面，你的余额就减半
• 游戏可以无限玩下去

现在的问题是：无限玩下去之后，你的期望收益是多少？

我看到的标准解答是这样的：

第i次游戏后的期望收益 $\mathbb{E}[X_i] = \frac{1}{2}\frac{X_{i-1}}{2} + \frac{1}{2}2X_{i-1} = \frac{5}{4}X_{i-1}$，所以随着游戏次数n趋向于无穷，$\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{5}{4}\right)^k$ 会趋向于无穷大，也就是说期望收益是无穷大。

但我从直观上完全没法接受这个结论，因为我觉得这本质上是一个基于2的幂次的简单随机游走：

• 把现金数转换成2的指数来看，初始状态是$2^0$，对应指数位置0
• 正面相当于指数+1，反面相当于指数-1，这就是个对称随机游走啊
• 对称随机游走的话，不管过多少步，期望位置应该还是初始的0，那对应的现金数就应该一直是$2^0=1$才对

这两种结论完全矛盾，我实在想不通自己的直觉哪里出错了，有没有人能帮我理清这个问题？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者bluesquare