单个二元运算+下非平凡等价等式恒等式的字母变体判定问询

嘿，这个问题问得挺有意思的！答案是存在这样的反例——也就是说，确实存在等价但并非字母变体的等式E和E'，满足题目里的非平凡条件。

举个具体的例子：

• 等式E：$x + (y + x) = (x + y) + x$（可以理解为“含重复左变量的结合性等式”）
• 等式E'：$x + (y + (z + x)) = (x + (y + z)) + x$

这两个等式是等价的：

1. 从E推导E'：把E中的变量$y$替换成项$y + z$，直接就能得到E'——因为E的本质是对任意项$u$和$v$，都满足$u + (v + u) = (u + v) + u$，这里取$u=x$、$v=y+z$代入即可。
2. 从E'推导E：在E'中令$z=x$，结合等式的替换规则，就能直接还原出E的形式。

关键是，E只用到了两个变量$x$和$y$，而E'用到了三个变量$x$、$y$、$z$——字母变体要求变量之间是双射重命名，显然无法通过重命名把两个变量的等式变成三个变量的，所以它们不是字母变体，但确实等价。

再补充一个更直观的例子：

• E：$(x + y) + (x + y) = x + y$（所有二元运算结果都是幂等的）
• E'：$(x + (y + z)) + (x + (y + z)) = x + (y + z)$（所有三元运算结果都是幂等的）

这两个也是等价的：任何满足E的代数，必然满足E'（三元项也是合法项，直接套用E的规则即可）；反过来，满足E'的代数也必然满足E（把三元项中的$z$替换成$x$，就能得到二元项的幂等性）。而E是二元项的等式，E'是三元项的等式，显然不是字母变体。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user107952