闭集的指示函数是否具有邻近有界性？

咱们来一步步拆解这个问题，先从基础定义开始梳理：

闭集的指示函数定义 #

$\mathbb{R}^n$中闭集$C$的指示函数$\delta_C(x)$定义如下：
$$
\delta_{C}(x)=
\begin{cases}
0 \quad \quad,, x \in C\

• \infty \quad x \notin C\
  \end{cases}.
  $$

邻近有界性的定义（来自《变分分析》习题1.24） #

设函数$f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup {+\infty}$是真（proper）且下半连续的，若存在某个实数$r$，使得$f(x)+\frac{1}{2}r |x|^2$下方有界，则称$f$是邻近有界的。

问题分析与解答 #

首先解决你提到的疑问：闭集的指示函数是不是真函数？
真函数的要求是定义域非空，且函数值不会恒为$+\infty$。只要$C$是非空闭集（空集的情况指示函数恒为$+\infty$，不属于真函数范畴，不在邻近有界性的讨论范围内），那么当$x\in C$时$\delta_C(x)=0$，完全满足真函数的定义。另外你提到的“闭集的指示函数是下半连续”这个结论是完全正确的。

接下来验证核心条件：是否存在某个$r$使得$\delta_C(x)+\frac{1}{2}r |x|^2$下方有界？
我们可以直接取$r=0$，此时$\delta_C(x)+\frac{1}{2}\times0\times|x|^2=\delta_C(x)$，它的下界是0（$x\in C$时取到0，$x\notin C$时为$+\infty$），显然下方有界。
哪怕取任意正实数$r$，当$x\in C$时，$\frac{1}{2}r |x|^{2$的下界是0（不管$C$是否有界，$|x|}2$的最小值都是0）；当$x\notin C$时式子值为$+\infty$，所以整个函数的下界依然是0，满足“下方有界”的要求。

所以结论很明确：非空闭集的指示函数是邻近有界的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Saeed