比较渐近复杂度时n的取值是否重要？大O复杂度相关咨询

1. 比较渐近复杂度时，n的取值是否会产生影响？ #

渐近复杂度（比如大O记号）的核心是描述n趋向于无穷大时算法的增长趋势，所以小范围的n取值不会影响渐近复杂度的比较结论。我们关注的是当n足够大之后，算法运行时间的增长速率，而非某个具体小n下的表现。

2. n!是否始终比n³的渐近复杂度更高，与n取值无关？ #

从渐近增长的角度来说，是的。根据大O的定义，存在某个常数n₀，当n≥n₀时，n!的增长速度会远远超过n³——比如n=10时，n!=3628800，而n³=1000；n越大，这个差距会指数级拉大。这个结论是基于n趋向无穷的趋势，和小n的具体数值无关。

3. 当n=3时，能否认为O(n!)的复杂度低于O(n³)？ #

不能。这里要明确两个概念的区别：

• 渐近复杂度（大O记号）：是对算法增长趋势的描述，不针对某个固定的n值。O(n!)的定义是存在常数c和n₀，当n≥n₀时，f(n)≤c·n!，它描述的是整体增长趋势，和单个n的数值无关。
• 具体n值下的实际计算量：当n=3时，n!=6，n³=27，此时n!的实际计算量确实更小，但这只是特定n下的表现，不能等同于渐近复杂度的高低。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者gorilla