序数算术等式ω·ω^ω=ω^ω的证明思路问询

嗨，我来帮你理一理这个序数算术的问题！

首先，先确认一下你提到的极限序数下的乘法和指数定义：

• 对于极限序数$\alpha$，$\beta \cdot \alpha = \sup{\beta \cdot \delta : \delta < \alpha}$
• 对于极限序数$\alpha$，$\beta^\alpha = \sup{\beta^\delta : \delta < \alpha}$

首先，$\omega^{\omega$本身是一个极限序数，它的定义就是$\sup{\omega}n : n < \omega}$，对吧？那你想把$\omega \cdot \omega^\omega$定义成$\sup\left{\omega \cdot \omega^\alpha: \omega^{\alpha<\omega}{\omega}\right}$，这个思路是没问题的，我们可以一步步拆解验证：

• 先看$\omega^\alpha < \omega^{\omega$的条件：因为序数指数函数当底数$\geq2$时是严格递增的，所以$\omega}\alpha < \omega^\omega$等价于$\alpha < \omega$（毕竟$\omega^{\omega$是所有$\omega}n$（n是自然数）的上确界）。
• 那你的上确界就变成了$\sup{\omega \cdot \omega^n : n < \omega}$。而根据序数乘法的结合律（或者递归计算规则），$\omega \cdot \omega^n = \omega^{1+n} = \omega^{n+1}$。
• 现在求$\sup{\omega^{n+1} : n < \omega}$，这其实就是所有$\omega^{k$（k取遍大于1的自然数）的上确界，而这个上确界和$\sup{\omega}n : n < \omega}$完全一致，都是$\omega^\omega$。

所以结论是：你那样的定义方式是可行的，而且最终$\omega \cdot \omega^{\omega$确实等于$\omega}\omega$。

另外补充个小知识点：序数乘法和自然数乘法差异很大，当左边是极限序数时，经常会出现吸收现象——就像这里$\omega$乘以$\omega^{\omega$直接被吸收，结果还是$\omega}\omega$，这是序数算术里很典型的特性哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Adriana Gonzalez