求解满足迭代函数项级数与导函数项级数相等的函数f(x)

这是个挺有意思的非线性无穷阶微分方程问题，先帮你梳理下思路，并且找到可行的求解方向：

首先明确符号：你这里的$f^{k(x)$应该是指$(f(x))}k$（函数值的k次幂），不然几何级数求和的结论不成立；而$f^{(k)}(x)$是$f(x)$的k阶导数，这个没问题。原方程是：
$$\sum_{k=0}^{{\infty}(f(x))}k=\sum_{k=0}^{\infty}f{(k)}(x)\tag{1}$$

你已经注意到左边的几何级数收敛要求$|f(x)|<1$，因此可以求和得到$\frac{1}{1-f(x)}$，这一步是对的。不过你后续尝试直接积分的思路陷入了循环，我们换个角度处理右边的导函数项级数：

步骤1：将无穷阶方程转化为一阶ODE #

记$S(x) = \sum_{k=0}^\infty f^{(k)}(x)$，如果这个级数收敛且可以逐项求导，那么对$S(x)$求导可得：
$$S'(x) = \sum_{k=1}^\infty f^{(k)}(x) = S(x) - f(x)$$
因为$S(x)$包含0阶导数$f(x)$，求导后就去掉了这一项，剩下的就是$S(x)-f(x)$。

结合原方程$S(x) = \frac{1}{1-f(x)}$，代入上面的导数关系式：
$$\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{1-f(x)} \right) = \frac{1}{1-f(x)} - f(x)$$

左边求导后得到$\frac{f'(x)}{(1-f(x))^2}$，右边通分整理：
$$\frac{1}{1-f(x)} - f(x) = \frac{1 - f(x) + f(x)^2}{1-f(x)}$$

两边同时乘以$(1-f(x))^2$（因为$|f(x)|<1$，所以$1-f(x)\neq0$），最终得到一阶可分离变量的ODE：
$$f'(x) = (1-f(x))(1 - f(x) + f(x)^2)$$

展开右边后也可以写成：
$$f'(x) = -f(x)^3 + 2f(x)^2 - 2f(x) + 1$$

步骤2：求解这个一阶ODE #

这是可分离变量的方程，我们把变量分离：
$$\frac{dy}{(1-y)(1 - y + y^2)} = dx$$
这里令$y=f(x)$。

接下来对左边做部分分式分解，先把分母因式分解：$(1-y)(1-y+y^2)=-(y-1)(y2-y+1)$，然后分解分式：
$$\frac{1}{(1-y)(1-y+y^2)} = \frac{1}{1-y} - \frac{y}{1-y+y^2}$$

分别积分两边：
$$-\ln(1-y) + \frac{1}{2}\ln(1-y+y^2) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2y-1}{\sqrt{3}} \right) = x + C$$

因为$|y|<1$，所以$1-y>0$，可以去掉绝对值符号，整理对数项后得到隐式解：
$$\frac{1}{2}\ln\left( \frac{1-y+y^2}{(1-y)2} \right) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left( \frac{2y-1}{\sqrt{3}} \right) = x + C$$

这个解没有初等函数的显式形式，但我们可以分析它的性质。

步骤3：解的性质与渐近行为 #

1. 单调性：在$|y|<1$的范围内，$f'(x)=(1-y)(1-y+y^{2)$，因为$1-y>0$，且$1-y+y}2=(y-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0$，所以$f'(x)>0$，说明$f(x)$是严格递增函数。
2. 渐近行为：
   • 当$x\to+\infty$时，$f(x)$趋近于1（但始终小于1），令$z=1-y$（$z\to0^+$），代入ODE近似可得$dz/dx\approx-z$，解得$z\approx Ce^{-x}$，因此渐近近似为：
     $$f(x)\approx1 - Ce^{-x}$$
   • 当$x\to-\infty$时，$f(x)$趋近于-1（但始终大于-1），此时级数刚好处于收敛边界附近。
3. 常数解：假设$f(x)=c$是常数解，代入原方程可得$\frac{1}{1-c}=c$，即$c^2-c+1=0$，无实根，因此不存在实常数解。

补充说明 #

你之前的积分思路之所以循环，是因为没有先利用导函数项级数的求导性质将无穷阶方程降阶，转化为普通的一阶ODE是解决这个问题的关键突破口。虽然我们得不到显式的初等解，但隐式解已经足够描述函数的行为，并且可以得到渐近近似。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kamal Saleh