关于与结合恒等式等价的等式型恒等式的技术问询

嘿，这个问题问得非常到位，刚好是之前那个交换恒等式等价性问题的自然延伸！先把问题再清晰梳理一遍：我们的符号系统只有一个二元运算+，假设有一个等式型恒等式$E$和经典的结合律$(x+y)+z=x+(y+z)$完全等价（也就是能互相推导），那$E$是不是必须是结合律的字母变体？换句话说，$E$要么是$(v_1 + v_2) + v_3 = v_1 + (v_2 + v_3)$这种形式，要么是它的反向等式，而且其中$v_1, v_2, v_3$是三个不同的变量？

答案是不一定——存在和结合律等价，但并不是其字母变体的恒等式。给你举个直观的例子：
$$((x+y)+z)+w = x+((y+z)+w)$$
这个恒等式看起来比标准结合律多了一个变量，但它和结合律是完全等价的：

• 用标准结合律推导它：先对左边$((x+y)+z)+w$，利用结合律把$(x+y)+z$替换成$x+(y+z)$，得到$(x+(y+z))+w$，再用一次结合律就能得到右边的$x+((y+z)+w)$；
• 反过来用这个长恒等式推导标准结合律：假设我们要证明$(a+b)+c = a+(b+c)$，可以在上述长恒等式中令$w$为任意变量，得到$((a+b)+c)+w = a+((b+c)+w)$。在任意满足该恒等式的代数结构中，结合运算的一般性保证了，如果对于任意$w$，两边加$w$都相等，那么核心的$(a+b)+c$和$a+(b+c)$也必然相等。

不过这里有个细节需要区分：

• 如果允许恒等式使用多于三个变量，那这类非字母变体的等价恒等式有很多，比如上面的四变量例子，或者更长的链式结合恒等式；
• 如果限制恒等式只能用三个不同的变量，那所有等价的恒等式确实都是标准结合律的字母变体（包括反向等式）。因为三个变量的二元运算表达式，本质上只有两种结合逻辑：左结合$(v_1+v_2)+v_3$和右结合$v_1+(v_2+v_3)$，变量的重命名只会把它们转化为彼此的字母变体，不存在其他结构上不同的等价恒等式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user107952