生成子群同构性判定问题及求解思路咨询

我最近在啃群论里关于生成子群同构性的题目，遇到了两个卡壳的例子，想跟大家请教下问题出在哪，以及这类题的通用解法思路：

问题1：对称群$S_4$中生成子群的同构判定 #

题目：设$a=(12)(34)$，$b=(24)$是对称群$S_4$中的元素，由$a,b$生成的子群$G=\langle a,b\rangle$同构于哪个选项？
选项：
a) 4阶二面体群
b) 8阶二面体群
c) $S_3$
d) $A_4$

我的尝试过程：

• 先计算了元素的阶和生成关系：$a^2=b2=(ab)^4=1$
• 然后我试着逐个排除选项：
  • 排除a)：因为4阶二面体群的生成关系是$x^4=1, y^2=1$，和我得到的关系对不上
  • 排除b)：8阶二面体群$D_8$的标准生成关系是$x^8=1, y^2=1$，这也不符合
  • 排除c)：$S_3$里没有4阶元素，但这里$ab$是4阶元素（因为$(ab)^4=1$，且验证了更低次幂都不等于单位元），所以排除c)
  • 排除d)：$ab$是奇置换，而$A_4$里全是偶置换，自然也排除d)
• 结果四个选项都被我排除了，肯定是哪里考虑错了，想问问我忽略了什么关键点？

问题2：二面体群$D_{32}$的子群同构判定 #

题目：设二面体群$D_{32}=\langle r,s\mid r^{16}=s2=1,rs=sr^{−1}\rangle$，子群$H=\langle r^9,s \rangle$，请问$H$同构于哪个群？

另外，想请大家给我个这类问题的通用解题思路提示，比如从哪些角度入手分析会比较高效？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user297814