基于线性代数证明两点确定唯一直线及两种直线参数形式的等价性

嗨，我来帮你把这个问题拆解清楚～咱们分两部分来解决：先证明你提到的两种直线参数形式是等价的，再用参数方程的思路严谨证明任意两个不同的点确定唯一一条直线。

一、证明两种参数形式的等价性 #

首先明确两个参数形式的定义：

• 形式1：$ L = { P + \lambda (Q-P) \mid \lambda \in \mathbb{R} } $
• 形式2：$ L' = { Q + \mu (P-Q) \mid \mu \in \mathbb{R} } $

要证明两个集合等价，只需要证明双向包含——也就是$L$里的所有点都在$L'$里，同时$L'$里的所有点也都在$L$里。

1. 证明 $L \subseteq L'$ #

任取一个点 $X \in L$，根据定义，存在某个实数$\lambda$使得：
$$X = P + \lambda(Q-P)$$
我们可以把$P$改写为 $P = Q - (Q-P)$，代入上式：
$$
\begin{align*}
X &= Q - (Q-P) + \lambda(Q-P) \
&= Q + (\lambda - 1)(Q-P) \
&= Q + (1 - \lambda)(P-Q)
\end{align*}
$$
这里令 $\mu = 1 - \lambda$，因为$\lambda$是任意实数，$\mu$也可以取遍所有实数。所以$X$完全符合$L'$的参数形式，即$X \in L'$。这就证明了$L$中的每个点都在$L'$里。

2. 证明 $L' \subseteq L$ #

反过来，任取一个点 $Y \in L'$，存在某个实数$\mu$使得：
$$Y = Q + \mu(P-Q)$$
同样把$Q$改写为 $Q = P + (Q-P)$，代入上式：
$$
\begin{align*}
Y &= P + (Q-P) + \mu(P-Q) \
&= P + (Q-P) - \mu(Q-P) \
&= P + (1 - \mu)(Q-P)
\end{align*}
$$
令 $\lambda = 1 - \mu$，$\mu$是任意实数，$\lambda$也能取遍所有实数，所以$Y$符合$L$的参数形式，即$Y \in L$。

双向包含成立，因此$L = L'$，两种参数形式完全等价。

二、证明两点确定唯一一条直线 #

已知$P, Q \in \mathbb{R}^2$且$P \neq Q$，我们用反证法+参数方程的思路来证明唯一性：

假设存在两条不同的直线$L_1$和$L_2$，它们都经过$P$和$Q$。

根据直线的参数方程定义，任何经过$P$的直线都可以表示为：
$$L = { P + t\vec{v} \mid t \in \mathbb{R} }$$
其中$\vec{v}$是一个非零方向向量（因为直线是无限延伸的，方向向量不能为零）。

对于$L_1$，因为$Q \in L_1$，所以存在某个非零实数$t_0$（如果$t_0=0$，则$Q=P$，与题设矛盾）使得：
$$Q = P + t_0\vec{v}_1$$
整理得 $\vec{v}_1 = \frac{1}{t_0}(Q-P)$，代入$L_1$的参数形式：
$$L_1 = { P + t \cdot \frac{1}{t_0}(Q-P) \mid t \in \mathbb{R} }$$
令$\lambda = \frac{t}{t_0}$（$t$取遍所有实数时，$\lambda$也取遍所有实数），则$L_1$就变成了我们熟悉的形式：
$$L_1 = { P + \lambda(Q-P) \mid \lambda \in \mathbb{R} }$$

同样地，对于$L_2$，因为它也经过$P$和$Q$，同理可得$L_2$的参数形式也可以转化为完全相同的集合。这就与我们“$L_1$和$L_2$是不同直线”的假设矛盾。

因此，不存在两条不同的直线同时经过$P$和$Q$，即任意两个不同的点只能确定唯一一条直线。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Pravaal Reddy