对称正定矩阵流形上最优传输距离与Fisher信息距离的直观差异及统计判别应用问询

作为一名对数学感兴趣的生物学家，我并非专业数学家，但最近一直在研究对称正定矩阵（SPDM）流形上协方差矩阵的几何特性。我尤其关注如何将这种几何特性与这些矩阵定义的中心化高斯分布的统计性质关联起来——比如不同高斯分布生成的数据到底有多“可区分”。

目前SPDM流形上有大量可用的度量，其中至少有两个和概率/统计概念直接相关：

• 仿射不变（AI）距离：据了解，它在相差一个常数的情况下就是Fisher信息度量。
• Wasserstein距离：也就是最优传输距离。

两者的计算公式分别如下：
AI距离（矩阵$A$与$B$之间）：
$$d(A,B) = ||log(A^{-1/2} B A^{-1/2})||_F$$

Wasserstein距离：
$$d(A,B) = tr(A) + tr(B) - 2tr((A^{1/2} B A^{1/2}){1/2})$$

这两个度量的表现差异很大：比如我了解到AI流形具有负曲率，而Wasserstein流形则是非负曲率。但从概率统计的概念层面，我还没搞清楚两者的核心区别。

我想请教的是：对于判别由这些SPDM对应的高斯分布生成的类别数据这一统计问题，这两个距离各自能告诉我什么信息？它们又能提供哪些互补的视角？我之前了解过KL散度和最优传输距离的差异，但不确定这种差异能多大程度迁移到AI/Fisher信息度量上。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者dherrera