MVU实现中MOSEK状态异常咨询：模型问题还是容差问题？

现象回顾 #

• 使用CVX默认SDPT3求解器时，优化中途终止，返回Status: Unbounded
• 切换MOSEK求解器后，返回Problem status: UNKNOWN及Status: Inaccurate/Unbounded
• 调整MOSEK的MSK_DPAR_INTPNT_CO_TOL_PFEAS、MSK_DPAR_INTPNT_CO_TOL_DFEAS等容差参数，仅swissroll、twinpeaks数据集能得到Status: Solved，helix数据集即使将容差调至1e-1仍无效

求解器状态差异的原因 #

SDPT3返回Unbounded的核心逻辑 #

SDPT3对无界问题的判定较为严格。MVU的原始SDP模型存在尺度不确定性：低维嵌入可进行任意正交变换+缩放，导致目标函数（最大化方差）能无限增大，触发SDPT3的无界判定直接终止求解。

MOSEK返回Inaccurate/Unbounded的本质 #

该状态是模型固有特性+数值病态性共同作用的结果：

• 部分数据集能通过调整容差得到Solved状态，是因为这些数据集的数值条件较好，放宽容差后求解器能在数值噪声范围内找到近似可行解；
• helix数据集调大容差仍无效，说明其对应的SDP模型数值病态性更严重——比如样本邻接关系导致约束矩阵条件数极差，或存在近似线性相关的约束，求解器无法在放宽容差后找到符合要求的近似解。

核心疑问解答：模型问题还是容差问题？ #

两者均有影响，但模型的尺度不确定性是根源，容差调整仅为缓解手段：

1. 模型层面：MVU原始模型无尺度约束，理论上目标函数无界，这是导致求解器返回无界相关状态的根本原因。标准MVU实现需添加额外约束固定尺度，比如约束某个样本的嵌入L2范数为1，或约束嵌入协方差矩阵的迹为固定值，消除尺度自由度；
2. 容差层面：部分数据集通过调整容差得到Solved状态，是数值条件较好情况下的权宜之计，无法从根源解决无界问题。

可行解决步骤 #

• 给MVU模型添加尺度约束：例如固定第一个样本的嵌入向量L2范数为1，或约束所有样本嵌入的协方差矩阵迹等于样本数量；
• 对数据集做归一化预处理：降低样本特征的数值范围差异，缓解模型的数值病态性；
• 尝试其他SDP求解器（如SeDuMi）：对比状态返回结果，辅助定位问题根源；
• 调整MOSEK更多参数：比如增大MSK_DPAR_INTPNT_MAX_ITER迭代次数，放宽MSK_DPAR_INTPNT_CO_TOL_REL_GAP相对间隙容差。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JCosta