圆盘内点到边界的平均距离：蒙特卡洛与解析解不符问题排查

蒙特卡洛模拟实现 #

圆盘内均匀采样（Muller方法） #

def sample_within(radius, dim, nb_points=1, ):
    # Gaussian-distributed points
    x = np.random.normal(size=(nb_points, dim))

    # Normalize to unit length (points on the surface of the n-sphere)
    x /= np.linalg.norm(x, axis=1)[:, np.newaxis]

    # Random radii with distribution ~ r^(1/n) => uniform volumic distribution in the ball
    r = np.random.rand(nb_points) ** (1/dim)

    # Scale by radius
    points = radius * x * r[:, np.newaxis]
    return points

注：同时采用“立方体采样+丢弃球外点”的笨方法验证，两种采样结果一致。

圆盘边界采样 #

def sample_on_border(radius, dim:int, nb_points:int):
   # Gaussian-distributed points
   x = np.random.normal(size=(nb_points, dim))

   # Normalize to unit length (points on the surface of the dim-sphere)
   x /= np.linalg.norm(x, axis=1)[:, np.newaxis]

   # Scale by radius
   points = radius * x
   return points

平均距离计算 #

def calc_average_distance(radius: float, dim: int, nb_in_points: int, nb_border_points: int)->float:
    border_points = sample_on_border(radius, dim, nb_border_points)
    in_points = sample_within(radius, dim, nb_in_points)
    # in_points = border_points #specific case R=1

    distances = np.sqrt(np.sum((border_points[:, np.newaxis, :] - in_points[np.newaxis, :, :])**2, axis=2))
    average_distance_to_border = np.mean(distances)
    return average_distance_to_border 

单位圆盘（半径1）的蒙特卡洛结果 #

• 已知验证：单位圆上两点平均距离为$4/\pi \approx 1.27$，蒙特卡洛模拟结果与该值一致；圆心到圆上点的平均距离为1。直觉上目标平均距离d应介于1和1.27之间。
• 实际计算结果：d = 1.13182±0.00035（5σ置信度），符合预期范围。

解析解的矛盾问题 #

找到论文《The Average Directional Distance To The Boundary Of A Ball Or Disk》，但发现明显矛盾：

• 论文给出单位圆两点平均距离为$2/\pi$，与公认的正确值$4/\pi$矛盾；
• 论文给出的二维圆盘解析解为$8/(3\pi) \approx 0.85$，与蒙特卡洛结果不符。

其他尝试的验证方法 #

• 非均匀半径采样（直接均匀采样半径）：得到结果1.088，仍与论文的0.85不符；
• 利用对称性沿[0,1]线段采样：根据采样是否均匀，得到1.13或1.088的结果；
• 二维极坐标采样：结果仍为1.13，与Muller方法的蒙特卡洛结果一致。

此外，参考3D球的相关问题，蒙特卡洛结果与结论$6/5$一致，但与上述论文给出的$3/4$结论不符。

推测与请求 #

推测正确的二维圆盘解析值应为$32/(9\pi)$，请求协助排查推理或代码中的错误。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者louis