EGMO 4.29 陪位中线几何问题求证

嘿，我来帮你拆解这个EGMO里的陪位中线证明题，思路其实挺清晰的，咱们一步步来：

首先先把问题再明确一遍，避免歧义：

设△ABC是任意三角形，过B、C两点作△ABC外接圆的切线，两条切线交于点X；直线AX与外接圆交于另一点K。证明：BC是△ABK的B-陪位中线，同时也是△ACK的C-陪位中线。

第一步：先搞定题目提示的关键比例 $\boldsymbol{\frac{AB}{BK}=\frac{AC}{CK}}$ #

这个比例是整个证明的核心，咱们用弦切角和相似三角形来证：

• 因为XB、XC是外接圆的切线，所以XB=XC（切线长相等），且根据弦切角定理，∠XBA=∠ACB，∠XCA=∠ABC。
• 观察△XAB和△XKB：∠XBA=∠XKB（∠XBA是弦切角，对应弧AB；∠XKB是圆周角，也对应弧AB，所以相等），再加上公共角∠AXB=∠BXK，所以△XAB∽△XKB。
• 由相似可得 $\frac{XA}{XB}=\frac{XB}{XK}=\frac{AB}{BK}$，同理△XAC∽△XKC，可得 $\frac{XA}{XC}=\frac{XC}{XK}=\frac{AC}{CK}$。
• 因为XB=XC，所以 $\frac{AB}{BK}=\frac{AC}{CK}$，这个关键比例就证出来了！

第二步：用比例关系证明BC是△ABK的B-陪位中线 #

先回忆一下陪位中线的核心判定准则：在△PQR中，过顶点P的直线PS是陪位中线，当且仅当直线PS与对边QR的交点S满足 $\frac{PQ^2}{PR2}=\frac{QS}{SR}$。对应到咱们的问题，设AK与BC交于点D，咱们要证的就是 $\frac{AB^2}{BK2}=\frac{AD}{DK}$。

用面积比来转化这个比例：

• △ABC和△KBC共享BC边，所以它们的面积比等于AK上的高之比，也就是 $\frac{S_{△ABC}}{S_{△KBC}}=\frac{AD}{DK}$。
• 用三角形面积公式展开：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·AC·\sin∠BAC$，$S_{△KBC}=\frac{1}{2}BK·CK·\sin∠BKC$。
• 注意到∠BAC和∠BKC是同弧BC所对的圆周角，所以∠BAC=∠BKC，$\sin∠BAC=\sin∠BKC$，可以约掉。
• 代入第一步得到的 $\frac{AB}{BK}=\frac{AC}{CK}$，也就是 $\frac{AC}{CK}=\frac{AB}{BK}$，所以 $\frac{AB·AC}{BK·CK}=\frac{AB·AB}{BK·BK}=\frac{AB^2}{BK2}$。
• 综上，$\frac{AD}{DK}=\frac{AB^2}{BK2}$，完全符合△ABK中B点陪位中线的判定条件，所以BC是△ABK的B-陪位中线。

第三步：同理证明BC是△ACK的C-陪位中线 #

和上面的步骤一模一样，把AB换成AC，BK换成CK，就能得到 $\frac{AD}{DK}=\frac{AC^2}{CK2}$，满足△ACK中C点陪位中线的判定条件，所以BC也是△ACK的C-陪位中线。

这样整个证明就完整啦，核心就是抓住那个提示的比例关系，再结合面积比转化到陪位中线的判定上，其实没那么复杂～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者amkpm90