关于(1+1)维PDE系统非线性方程的Mellin变换及完整变换后系统构建的技术问询

大家好，我最近在研究一组和洛伦兹流形柯西叶状结构相关的偏微分方程，目前在非线性方程的Mellin变换环节遇到了瓶颈，想请教下社区的各位专家。先给大家梳理下背景和已有的进展：

初始(1+1)维PDE系统 #

我从闵氏(1+1)空间在Dirac坐标下的等距洛伦兹流形$M$的柯西叶状结构假设出发，推导出了如下PDE系统：
$$
\begin{cases}
2\sqrt{s}\dfrac{\partial}{\partial s} \sqrt{\mp \Omega_s(x)}=\sqrt{x}\sqrt{\pm\dfrac{\partial}{\partial x}\Omega_s(x)} \
s \dfrac{\partial^2}{\partial s^2}\Omega_s(x)=\pm x\dfrac{\partial}{\partial x}\Omega_s(x)
\end{cases}
$$
柯西数据为$\Omega_s(x)|_{s=0}$。同时我找到了该系统的一个解：$\Omega_s(x)=e^{\frac{\mp s}{\log x}}$（$x\ne 0,1$），对应的流形度规为$g=\frac{dudv}{uv}$。

高维推广的格点对应关系 #

我还尝试将这个系统推广到(n×n)时空格点框架下：

• 格点$(1,n)$对应线性方程的n维版本解
• 格点$(n,1)$对应非线性方程的n维版本解
• 只有格点$(1,1)$能同时对应两类方程的解

对应的推广方程如下：

非线性方程推广 #

$$\frac{2\sqrt{s}}{\sqrt{x_1}}\frac{\partial}{\partial s} \sqrt{\mp g}=\Psi g$$
其中$\Psi g := \sum_{i=1}^n \sqrt{\pm \frac{\partial}{\partial x_i}g}$，$g:=\prod_{i=1}^n \Omega_s(x_i)=e^{\frac{\mp s}{\log x_i}}$

线性方程推广 #

$$\bigg( \sum_{i=1}^n s_i \bigg) \Delta h=\pm n x \frac{\partial}{\partial x}h$$
其解为$h:=\prod_{i=1}^n \Omega_{s_i}(x)$。这里的$g$和$h$可以看作是更一般乘积空间$\Phi:=\prod_{i=1}^n \Omega_{s_i}(x_i)$的特定投影，而除了$(1,n)$和$(n,1)$之外的格点，都不对应这两类PDE的解。

Mellin变换的进展与核心问题 #

回到(1+1)维的初始系统，我已经完成了线性方程的Mellin变换：
原线性方程（仅负号有效）：
$$s \dfrac{\partial^2}{\partial s^2}\Omega_s(x)=\pm x\dfrac{\partial}{\partial x}\Omega_s(x)$$
变换后得到：
$$r^2 \frac{\partial^3}{\partial r^3} \chi_s(r)= s^2 \frac{\partial}{\partial s}\chi_s(r)$$
它的一个特解为$\chi_s(r)=2\sqrt{\frac{r}{s}}K_1(2\sqrt{rs})$（其中$K_1$是修正贝塞尔函数）。

现在我的核心问题是：如何对原系统中的非线性方程进行Mellin变换？
原非线性方程为：
$$2\sqrt{s}\dfrac{\partial}{\partial s} \sqrt{\mp \Omega_s(x)}=\sqrt{x}\sqrt{\pm\dfrac{\partial}{\partial x}\Omega_s(x)}$$

我希望得到这个方程变换后的形式，这样就能让$\chi_s(r)$同时满足变换后的非线性方程和已得到的线性变换方程，从而补全如下系统：
$$
\begin{cases}
???\
r^2 \frac{\partial^3}{\partial r^3} \chi_s(r)= s^2 \frac{\partial}{\partial s}\chi_s(r)
\end{cases}
$$
对应的柯西数据为$\chi_s(r)|_{r=0}$。

麻烦各位大佬帮忙指点一下，谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J. Zimmerman