关于鲁丁《实分析与复分析》傅里叶变换逆定理证明中$g \in C_0$推导逻辑的疑问

我完全懂你在这里卡壳的感觉——鲁丁的书总是喜欢把一些衔接性的小步骤藏起来，对刚接触这些内容的人来说确实容易摸不着头脑。咱们一步步拆解这个推导逻辑：

首先先把定理9.6的核心结论拎出来明确一下：

若函数$h \in L^1(\mathbb{R})$，则它的傅里叶变换$\hat{h} \in C_0(\mathbb{R})$，并且$|\hat{h}|_\infty = |h|_1$（注：严格来说这里其实是$\leq$，不过咱们先按你引用的定理表述来）。

你提到的$g$是$\hat{f}$的逆傅里叶变换，它的定义是：
$$g(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \hat{f}(t)e^{ixt}dt$$

现在的问题是：怎么用定理9.6推出$g \in C_0$？这里的关键是傅里叶正变换和逆变换的对称性——逆变换本质上只是正变换换了个“马甲”而已：

咱们构造一个辅助函数$k(t) = \hat{f}(-t)$，因为$\hat{f} \in L^1$，变量替换（把$t$换成$-t$）不会改变函数的可积性，所以$k \in L^1$。接下来计算$k$的傅里叶变换：
$$\hat{k}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty k(t)e^{-ixt}dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \hat{f}(-t)e^{-ixt}dt$$

做变量替换$s = -t$，此时$dt = -ds$，积分上下限反转后抵消负号，得到：
$$\hat{k}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \hat{f}(s)e^{ixs}ds$$

你看，这个结果正好就是$\hat{f}$的逆傅里叶变换$g(x)$！

现在，因为$k \in L^1$，直接套用定理9.6的结论：$\hat{k} \in C_0$，而$\hat{k} = g$，所以自然就有$g \in C_0$了。

总结一下：鲁丁其实是默认了你能看出来逆变换可以通过简单的变量替换转化为某个$L^1$函数的正傅里叶变换，所以没把这个构造辅助函数的步骤写出来，但这正是连接定理9.6和$g \in C_0$的关键桥梁。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TeaDrinker7