补码数乘2时的溢出检测：需检查哪些位？

核心结论 #

判断n位补码有符号数乘以2是否溢出，只需要检查最高两位（符号位和次高位），也就是最少检查2位。

原理说明 #

补码中，乘以2等价于算术左移一位，溢出的本质是结果超出n位补码的表示范围[-2^(n-1), 2^(n-1)-1]，通过最高两位的关系就能直接判断：

• 若符号位（第n位，从1开始计数）与次高位（第n-1位）相同：
  • 正数（符号位为0）：原数最大为2^(n-2)-1，乘2后结果为2^(n-1)-2，未超过正数上限2^(n-1)-1，无溢出。
  • 负数（符号位为1）：原数范围是[-2^(n-1), -2^(n-2)]，乘2后结果落在[-2^n, -2^(n-1)]，其中-2^(n-1)是n位补码的合法最小值，其余结果也在表示范围内，无溢出。
• 若符号位与次高位不同：
  • 正数（符号位0、次高位1）：原数最小为2^(n-2)，乘2后结果为2^(n-1)，超出正数上限2^(n-1)-1，溢出。
  • 负数（符号位1、次高位0）：原数范围是[-2^(n-1)+1, -2^(n-2)-1]，乘2后结果小于n位补码最小值-2^(n-1)，溢出。

示例验证（以4位补码为例，范围[-8,7]） #

• 0100（十进制4）：符号位0、次高位1 → 乘2得8，超出范围，溢出。
• 1011（十进制-5）：符号位1、次高位0 → 乘2得-10，超出范围，溢出。
• 0011（十进制3）：符号位0、次高位0 → 乘2得6，合法无溢出。
• 1100（十进制-4）：符号位1、次高位1 → 乘2得-8，合法无溢出。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ranar 100