关于冯·诺依曼数幂集仍是冯·诺依曼数的证明问询

嘿，我最近在研究冯·诺依曼数，它是递归定义自然数的一种方式：$0 = \emptyset$，而 $n + 1 = n \cup {n} = {0, 1, ..., n - 1}$。在探究它的性质时，我发现冯·诺依曼数$X$满足这样的特性：如果$(S \in T) \land (T \in X)$，那么必然有$S \in X$——简单说就是，这类集合中任意元素的元素，本身也是该集合的元素。

现在我想证明的是，对于冯·诺依曼数$X$，它的幂集$P(X)$也满足这个特性（也就是$P(X)$也是符合这个定义的冯·诺依曼数）。具体来说，我需要证明：对于所有满足$((A \in B) \land (B \in S)) \implies (A \in S)$的集合$S$，它的幂集$P(S)$也满足$(C \in D) \land (D \in P(S)) \implies (C \in P(S))$。

我目前已经完成了部分推导：

• 根据幂集的定义，$P(S)$是$S$所有子集的集合。那么$P(S)$中任意元素的元素，本身必然是$S$的元素（因为$P(S)$里的元素都是$S$的子集）。也就是说可以推出：$(C \in D) \land (D \in P(S)) \implies (C \in S)$。
• 但我们最终要证明的是$(C \in D) \land (D \in P(S)) \implies (C \in P(S))$。既然已经知道$C \in S$，那现在只需要证明$C \in S \implies C \in P(S)$就可以完成推导了——但这一步我卡住了，不知道怎么证。

有没有大佬能给我一些提示或者思路来完成这个证明呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Christopher Miller