关于含已知特征分解矩阵的分块矩阵B的特征分解相关问题咨询

嗨，我来梳理下这个分块矩阵特征分解的问题，咱们一步步拆解来看：

一、一般情况（A为任意实方阵，有$A = PDP^{-1}$特征分解） #

首先，你说的B属于**加边矩阵（bordered matrix）**的范畴，结构是$(n+1) \times (n+1)$的分块矩阵$\begin{bmatrix}c & v^T \ v & A\end{bmatrix}$。咱们先从特征值和特征向量的关联入手：

假设$(\lambda, x)$是A的一对特征对（即$Ax = \lambda x$，$x \neq 0$），我们可以尝试构造B的候选特征向量$y = \begin{bmatrix}k \ x\end{bmatrix}$，代入$By = \mu y$后展开得到两个方程：

$c \cdot k + v^T x = \mu \cdot k$
$v \cdot k + \lambda x = \mu \cdot x$

对这两个方程做整理：

1. 如果$\mu \neq \lambda$，从第二个方程可以解出$k = \frac{(\mu - \lambda) v^T x}{v^T v}$（前提是$v \neq 0$），代入第一个方程后，若$v^T x \neq 0$，两边消去$v^T x$就能得到关于$\mu$的二次方程：
   $$\mu^2 - (c + \lambda)\mu + (c\lambda - v^T v) = 0$$
   这意味着，A的每个特征值$\lambda$，只要对应的特征向量x和v不正交（$v^T x \neq 0$），就会给B贡献两个特征值（来自这个二次方程的解）。
2. 如果$v^T x = 0$，那代入第一个方程会变成$c k = \mu k$：
   • 若$c \neq \lambda$，则$k=0$，此时$y = \begin{bmatrix}0 \ x\end{bmatrix}$就是B的特征向量，对应特征值$\lambda$；
   • 若$c = \lambda$，则k可以取任意实数，这时候特征值$\lambda$对应的特征空间会包含$\begin{bmatrix}0 \ x\end{bmatrix}$，还可能有其他线性无关的向量。

另外，从矩阵迹和行列式的角度也能关联B和A的特征值：

• B的所有特征值之和等于$\text{tr}(B) = c + \text{tr}(A)$，也就是c加上A所有特征值的和；
• 若A可逆，B的行列式$\det(B) = \det(A)(c - v^T A^{-1} v)$，而$\det(A)$是A所有特征值的乘积，这也能间接反映B特征值的乘积和A的关系。

二、当A是对称矩阵时的特殊情况 #

对称矩阵的优势在于可以正交对角化，即$A = PDP^T$（P是正交矩阵，列是A的标准正交特征向量），此时B也是对称矩阵，所以B同样可以正交对角化，所有特征值都是实数。

我们可以构造正交矩阵$Q = \begin{bmatrix}1 & 0^T \ 0 & P\end{bmatrix}$，对B做正交变换：$Q^T B Q = \begin{bmatrix}c & (Pv)^T \ Pv & D\end{bmatrix}$。记$w = Pv$，这个变换后的矩阵是一个对称的加边对角矩阵，形式更简洁：
$$\begin{bmatrix}c & w_1 & w_2 & ... & w_n \ w_1 & \lambda_1 & 0 & ... & 0 \ w_2 & 0 & \lambda_2 & ... & 0 \ ... & ... & ... & ... & ... \ w_n & 0 & 0 & ... & \lambda_n\end{bmatrix}$$

此时B的特征值$\mu$满足行列式方程$\det(\mu I - Q^T B Q) = 0$，展开后可以得到：
$$(\mu - c)\prod_{i=1}^n (\mu - \lambda_i) - \sum_{i=1}^n \left(w_i^2 \prod_{j \neq i} (\mu - \lambda_j)\right) = 0$$
这个式子还能改写为：
$$\prod_{i=1}^n (\mu - \lambda_i) \left( (\mu - c) - \sum_{i=1}^n \frac{w_i^2}{\mu - \lambda_i} \right) = 0$$

从这个式子能看出：

• 如果某个$\lambda_i$对应的$w_i = 0$（也就是$v^T x_i = 0$，x_i是A对应$\lambda_i$的特征向量），那么$\lambda_i$直接是B的特征值；
• 剩下的特征值是方程$(\mu - c) = \sum_{i=1}^n \frac{w_i^2}{\mu - \lambda_i}$的解，这是一个n次实系数方程，加上可能重复的$\lambda_i$，刚好凑够n+1个实特征值。

特征向量方面，B的特征向量可以通过Q和变换后矩阵的特征向量关联起来，和A的特征向量有明确的线性组合关系。

三、c=0或c=1的特殊场景 #

当c=0时 #

• 一般情况：$\text{tr}(B) = \text{tr}(A)$，若A可逆，$\det(B) = -\det(A) v^T A^{-1} v$；
• 对称A的情况：特征值方程简化为$\mu = \sum_{i=1}^n \frac{w_i^2}{\mu - \lambda_i}$，整理后是一个n+1次实系数方程，所有根都是实数。

当c=1时 #

• 一般情况：$\text{tr}(B) = 1 + \text{tr}(A)$，若A可逆，$\det(B) = \det(A)(1 - v^T A^{-1} v)$；
• 对称A的情况：特征值方程变为$(\mu - 1) = \sum_{i=1}^n \frac{w_i^2}{\mu - \lambda_i}$，同样是n+1次实系数方程，所有根为实数。

关于特征元素的嵌套关系总结 #

不管A是否对称，B的特征值和A的特征值都有紧密的嵌套关联：

• 要么直接包含A的部分特征值（当A对应的特征向量和v正交时）；
• 要么通过二次方程（一般A）或n次方程（对称A）与A的特征值建立代数关系。

特征向量方面，当A的特征向量x和v正交时，$\begin{bmatrix}0 \ x\end{bmatrix}$直接是B的特征向量；若不正交，B的特征向量会是$\begin{bmatrix}k \ x\end{bmatrix}$这类形式的线性组合（对称情况下还能通过正交变换进一步简化），和A的特征向量直接相关。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者T.L