含偏导数与卷积运算的等式证明问题咨询

你好！我仔细看了你的问题，首先要说明的是：这个等式并不是对所有满足条件的函数$f(x,t)$都成立，它只在特定条件下成立，咱们一步步分析原因和证明思路：

首先先明确函数的变量定义（你的写法有点简略，补全后更清晰）：

• $f$是关于$x$和$t$的二元函数，即$f = f(x,t)$
• $g$是仅关于$t$的一元函数
• 卷积$\star$是对$t$变量的卷积，即$(g \star f)(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty} g(\tau) f(x, t-\tau) d\tau$

你对左右两边的展开是完全正确的：

左边（L.H.S）展开： #

$$
\begin{align}
L.H.S &= \frac{\partial f(x,t)}{\partial x} \cdot (g \star f)(x,t) \
&= \frac{\partial f(x,t)}{\partial x} \int_{-\infty}^{\infty} g(\tau) f(x, t-\tau) d\tau \
&= \int_{-\infty}^{\infty} g(\tau) f(x, t-\tau) \frac{\partial f(x,t)}{\partial x} d\tau
\end{align}
$$

右边（R.H.S）展开： #

$$
\begin{align}
R.H.S &= f(x,t) \cdot (g \star \frac{\partial f}{\partial x})(x,t) \
&= f(x,t) \int_{-\infty}^{\infty} g(\tau) \frac{\partial f(x, t-\tau)}{\partial x} d\tau \
&= \int_{-\infty}^{\infty} g(\tau) f(x,t) \frac{\partial f(x, t-\tau)}{\partial x} d\tau
\end{align}
$$

接下来计算左右两边的差值，看什么时候差值为0：
$$
L.H.S - R.H.S = \int_{-\infty}^{\infty} g(\tau) \left[ \frac{\partial f(x,t)}{\partial x} f(x, t-\tau) - f(x,t) \frac{\partial f(x, t-\tau)}{\partial x} \right] d\tau
$$

把被积函数里的项整理一下，提取公因子$f(x,t)f(x,t-\tau)$：
$$
\frac{\partial f(x,t)}{\partial x} f(x, t-\tau) - f(x,t) \frac{\partial f(x, t-\tau)}{\partial x} = f(x,t)f(x,t-\tau) \left( \frac{1}{f(x,t)} \frac{\partial f(x,t)}{\partial x} - \frac{1}{f(x,t-\tau)} \frac{\partial f(x,t-\tau)}{\partial x} \right)
$$

令$h(x,t) = \frac{\partial}{\partial x} \ln|f(x,t)|$（也就是$f$对$x$的对数偏导），那么上面的项可以写成：
$$
f(x,t)f(x,t-\tau) \left( h(x,t) - h(x,t-\tau) \right)
$$

所以差值积分变为：
$$
L.H.S - R.H.S = \int_{-\infty}^{\infty} g(\tau) f(x,t)f(x,t-\tau) \left( h(x,t) - h(x,t-\tau) \right) d\tau
$$

要让这个差值为0，也就是等式成立，需要满足以下其中一个条件：

• $h(x,t)$不依赖于$t$，即$h(x,t) = h(x)$，这意味着$\frac{\partial}{\partial x} \ln|f(x,t)|$只和$x$有关，进一步推导可得$f(x,t)$可以分离变量为$f(x,t) = A(x)B(t)$，其中$A(x)$是仅关于$x$的函数，$B(t)$是仅关于$t$的函数；
• $g(\tau)$是特殊的函数，使得积分自动为0，但这种情况非常局限，不是普遍成立的。

为什么你之前的变量替换不可行？ #

你提到尝试用$t = t-\tau$做变量替换，但这个替换是错误的：因为$t$是积分外的自由变量，而$\tau$是积分变量，不能把自由变量和积分变量混同替换。正确的卷积变量替换应该是把积分变量$\tau$换成新的变量（比如$s = t-\tau$），但这样替换后，左边的积分会变成$\int_{-\infty}^{\infty} g(t-s) f(x,s) \frac{\partial f(x,t)}{\partial x} ds$，和右边的积分形式并不直接相等，除非满足上面的分离变量条件。

总结一下：你的等式只有当$f(x,t)$是可分离变量的二元函数（即$f(x,t)=A(x)B(t)$）时才成立，此时可以轻松证明等式：
假设$f(x,t)=A(x)B(t)$，那么：

• $\frac{\partial f}{\partial x} = A'(x)B(t)$
• $(g \star f)(x,t) = A(x) \int_{-\infty}^{\infty} g(\tau)B(t-\tau)d\tau = A(x)(g \star B)(t)$

左边L.H.S = $A'(x)B(t) \cdot A(x)(g \star B)(t) = A(x)A'(x)B(t)(g \star B)(t)$

右边R.H.S = $A(x)B(t) \cdot \int_{-\infty}^{\infty} g(\tau)A'(x)B(t-\tau)d\tau = A(x)B(t)A'(x)(g \star B)(t)$

显然左右两边相等，证明完成。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Zhao Dazhuang